On the power series whose initial coefficients are given. (Q1447253)

Sind \(C_\nu\) (\(\nu=0,1, \ldots, n\)) gegebene Konstanten, die nicht alle Null sind, so werde mit \(\{f(z)\}\) die Menge der in \(|z|\leqq 1\) regulären analytischen Funktionen bezeichnet, welche der Bedingung \[ f(z)\equiv \sum_{\nu=0}^n C_\nu z^\nu \pmod {z^{n+1}} \] genügen. Nach \textit{F. Riesz} [Acta Math. 42, 145--171 (1919; JFM 47.0272.02)] gibt es dann in der Menge \(\{f(z)\}\) genau eine Funktion \(f^*(z)\), welche das Integral \[ I(f) = \frac 1{2\pi} \int_{|z|=1} |f(z)|\,|dz| \] zum Minimum macht, und \(f^*(z)\) ist eine ganze rationale Funktion höchstens vom Grad \(2n\). In der vorliegenden Note wird die untere Grenze von \(I(f)\) bestimmt und \(f^*(z)\) angegeben, wenn die \(C_\nu\) gewissen Bedingungen genügen.