Sur les valeurs exceptionnelles des fonctions méromorphes dans un cercle. (Q1447262)

Unter Anwendung einer von F. Nevanlinna herrührenden Methode werden einige Sätze bewiesen über Funktionen \(f(x)\), welche im Kreise \(|x|< R\) meromorph sind und \(p \geqq 3\) Picardsche Ausnahmewerte \(z_1, \ldots, z_p\) besitzen: Wenn \(\xi(z)\) diejenige Funktion bezeichnet, welche die universelle Überlagerungsfläche der in \(z_1, \ldots, z_p\) punktierten \(z\)-Ebene auf die Halbebene \(I(\xi) > 0\) konform abbildet, so ist der Ausdruck \[ \mu(x) = \log \frac {\left|\dfrac{d\xi}{dx}\right|}{I(\xi(f(x)))} \] für \(|x| < R\) eindeutig und genügt der partiellen Differentialgleichung \(\varDelta \mu = e^{2\mu}\). Durch Integration wird hieraus eine Ungleichung abgeleitet, die als Folgerungen nachstehende Sätze enthält: 1. Es wird der genaue (im Falle \(p = 3\) früher von Carathéodory angegebene) Wert bestimmt für den Radius des größten Kreises, in welchem eine meromorphe Funktion \(p\) Ausnahmewerte besitzen kann. 2. Die charakteristische Funktion \(T(r)\) einer meromorphen Funktion mit \(p\) Ausnahmewerten im Kreise \(|x| < R\) genügt der Ungleichung (\(r < R\)) \[ \varlimsup_{r=R} \frac {T(r)}{\log \dfrac 1{R-r}}\leqq \frac 1{p-2}, \] wo die rechtsstehende Schranke durch keine kleinere ersetzt werden kann.