Sur les moyennes des modules de fonctions analytiques. (Q1447285)

Verf. untersucht das von ihm in einigen Noten (C. R. 182 (1926), 1201-1202, 1314-1316; 183 (1926), 10-12; F. d. M. 52) verwendete Mittel \(p\). Ordnung des absoluten Betrages einer analytischen Funktion \(f(z)\), die den Konvergenzkreis \(|z|=R\) hat und im Nullpunkt eine Nullstelle der Ordnung \(k\) besitzt. Das Mittel \(p\). Ordnung von \(|f|\) für \(|z|= r(r< R)\) ist: \[ M(r)= \left\{\frac 1{2\pi} \int_0^{2\pi} |f(re^i)|^p\,d\vartheta\right\}^{\frac 1p}, \] dasjenige für \(z \leqq r\): \[ M_1(r) = \left\{\frac 1{\pi r^2} \int_0^r \varrho\,d\varrho\int_0^{2\pi} |f(\varrho e^{i\vartheta})|^p\,d\vartheta\right\}^{\frac 1p}. \] Verf. beweist die folgenden Ungleichungen: \[ \frac{M(r_1)}{M(r_2)} \leqq \left(\frac {r_1}{r_2}\right)^k, \;\;\frac{M_1(r_1)}{M_1(r_2)}\leqq \left(\frac {r_1}{r_2}\right)^k \;\;\text{für} \;\;0<r_1<r_2\leqq R, \] in denen das Gleichheitszeichen für das Monom \(f(z) = a_kz^k\) und nur für dieses gilt. Dem Beweis dieser Sätze folgen verschiedene Anwendungen, sowie ein Anhang über das Wachstum des Ausdrucks \[ m(r)=\int_0^{2\pi}|f(re^{i \vartheta})|^p\,d\vartheta\,[= 2\pi\cdot (M(r))^p]. \] In diesem Anhang wird gezeigt, daß \(m(r)\) dann und nur dann konstant ist, wenn \(f(z)\) konstant ist, und daß in jedem anderen Fall \(m(r)\) monoton mit \(r\) wächst.