Über trigonometrische Integrale mit nur reellen Nullstellen. (Q1447288)

Verf. untersucht trigonometrische Integrale der Gestalt \[ G(z)= \int_{-\infty}^\infty F(t)e^{izt}\,dt \] auf die Reellität ihrer Nullstellen. Das ist im Hinblick auf die bekannte analoge Darstellung der Riemannschen \(\zeta\)-Funktion aus der Primzahltheorie besonders interessant. Er beweist folgenden Satz: I: \(F(t)\) sei in jedem endlichen Intervall eigentlich integrabel, \(F(-t) = \overline{F(t)}\), und es genüge der Wachstumbeschränkung \[ F(t) = O\left(e^{-|t|^{2+\alpha}}\right) \;\;(\alpha > 0). \] (\(G(z)\) ist also eine ganze Funktion, die für reelles \(z\) reellwertig ist.) Aus der Tatsache, daß \(G(z)\) nur reelle Nullstellen besitzt, folgt dann und nur dann, daß stets (d. h. für jedes solche \(G(z)\)) auch \[ G^*(z)=\int_{-\infty}^\infty \varphi(t)F(t)e^{izt}\,dt \] dieselbe Eigenschaft hat, wenn \(Ce^{\gamma t^2}\varphi(it)\) (für geeignetes \(C \neq 0\), \(\gamma \geqq 0\) reell) eine ganze Funktion vom Geschlechte l ist, die nur reelle Nullstellen besitzt und für reelle \(t\) reellwertig ist. Als Beispiel nimmt Verf. \[ G(z)= \int_{-\infty}^\infty e^{-\alpha {\mathfrak G}{\mathfrak o}{\mathfrak f}t}e^{izt}\,dt \;\;(\alpha > 0), \] für das er aufs Neue (vgl. Acta Math. 48 (1926), 305-317; F. d. M. 52) zeigt, daß seine Nullstellen reell sind. Satz I lehrt dann, daß auch \[ G^*(z)= \int_{-\infty}^\infty A(e^{at}+ e^{-at})e^{-\alpha {\mathfrak G}{\mathfrak o}{\mathfrak f}t}e^{izt}\,dt \;\;(A,a, \alpha >0) \] nur reelle Nullstellen besitzt. Ein solches \(G^*(z)\) ist z. B. die ``verfälschte'' Riemannsche \(\xi\)-Funktion (vgl. das obige Zitat), deren Integrand asymptotisch gleich ist dem Integranden der wirklichen \(\xi\)-Funktion. Ein zweiter Satz lautet: II: Ist \(f(t)\) für \(t \geqq 0\) definiert, reell, um \(t = 0\) analytisch, absolut integrabel und der Wachstumsbeschränkung \[ f(t) = O(e^{-t ^{\frac 12 +\beta}}) \;\;(\beta >0) \] unterworfen, so stellt \[ M(z) = \int_0^\infty t^{z-1}f(t)\,dt \] eine meromorphe Funktion dar. Besitzt \(M(z)\) nur reelle negative Nullstellen, so besitzt die ganze Funktion \[ G(z) = \int_{-\infty}^\infty f(t^{2q}) e^{izt}\,dt \;\;(q > 0, \;\;\text{ganz}) \] nur reelle Nullstellen. Als Beispiel erhält man etwa, ausgehend von \[ M_1(z)= \frac{\varGamma(z)\varGamma(\alpha)}{\varGamma(z+\alpha)} \;\;(\alpha >0) \;\;\text{bzw.} \;\;M_2(z) = \varGamma(z), \] daß \[ G_1(z) = \int_{-1}^{+1}(1 - t^{2q})^{\alpha-1} e^{izt}\,dt \;\;\text{bzw.} \;\;G_2(z) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^{2q}} e^{izt}\,dt \] nur reelle Nullstellen besitzen. Als weiteres Beispiel ergibt sich der folgende Satz: III: Besitzt das Polynom \(P(z)\) nur reelle negative Nullstellen, so gilt dies auch für \[ G(z)=\int_{-1}^{+1}(1 - t^{2q})^{l-1}P(t^{2q})e^{izt}\,dt \;\;(l,q>0 \;\;\text{ganz}). \] (Siehe auch Abschn. IV, Kap. 3, D.)