A consequence of the Riemann hypothesis. (Q1447297)

Für die Anzahl \(N(T)\) der komplexen Nullstellen von \(\zeta(s)\), deren Ordinate positiv und \(\leqq T\) ist, gilt bekanntlich die Abschätzung \[ N(T) = \frac 1{2\pi} T\log T -=\frac{1+\log 2\pi}{2\pi} T +\frac 78+R(T) \] mit \[ R(T) = S(T) + O(1/T), \quad S(T) = \frac 1\pi \arg \zeta\left( \frac 12 + iT\right). \] Dabei ist letzterer Wert als Zuwachs von \(\zeta (s)\) zu berechnen, wenn \(s\) den gebrochenen Streckenzug 2, \(2 + iT\), \(\frac 12 + iT\) durchläuft. Für diesen Wert gilt \[ S(T) = O(\log T) \quad \text{und} \quad \int_0^T S(t)\,dt = O(\log T). \] Falls aber die Riemannsche Vermutung (\(\zeta(s) \neq 0\) für \(\sigma > \frac 12\)) richtig ist, ist sogar, wie Littlewood 1924 zeigte, \[ S(T) = O\left(\frac{\log T}{\log\log T}\right) \quad \text{und} \quad \int_0^T S(t)\,dt = O\left(\frac{\log T}{(\log\log T)^2}\right). \] Für diese Littlewoodschen Sätze werden wesentlich vereinfachte Beweise gegeben. (II 8.)