Allgemeine Theorie der Riemannschen Mannigfaltigkeiten (Konforme Abbildung und Uniformisierung). (Preisschrift.) (Q1447343)

Die Uniformisierung eines analytischen Gebildes \((z,w)\) im ''Großen'', d. h. die eindeutige, analytische Parameterdarstellung des ganzen Gebildes, erfordert die Bestimmung einer Hilfsvariablen \(\zeta \), welche über das ganze Gebilde hin ohne Beschränkung analytisch fortgesetzt werden kann, an jeder Stelle des Gebildes in allen ihren Zweigen den Charakter einer lokalen uniformisierenden Variablen besitzt und keinen Wert mehr als einmal annimmt. \(\zeta \) heißt insbesondere die ``Hauptuniformisierende'', wenn \(\zeta (z,w)\) keine Relativverzweigung hat, und wenn das \(\zeta \)-Wertegebiet entweder von der Vollebene, d. h. der ganzen Ebene mit Einschluß des unendlich fernen Punktes, oder von der punktierten Ebene, d. h. der ganzen Ebene mit Ausschluß des unendlich fernen Punktes, oder vom Inneren des Einheitskreises gebildet wird. \(\zeta \) liefert zugleich die Fundamentalabbildung der zugehörigen Riemannschen Fläche auf das betreffende \(\zeta \)-Gebiet (Grundbereich). Die Hauptuniformisierende ist bis auf lineare Transformationen völlig bestimmt (Unitätssatz). In der vorliegenden Preisschrift wird eine streng potenzreihentheoretische Begründung der Uniformisierung sowohl der algebraischen als auch beliebiger analytischer Funktionen gegeben und darüber hinaus das Problem der Fundamentalabbildung beliebiger (zweiseitiger) Riemannscher Mannigfaltigkeiten in erschöpfender Weise behandelt und erledigt. Die Arbeit zerfällt in vier Teile. Im ersten Teil wird die Fundamentalabbildung der elliptischen und hyperelliptischen Riemannschen Flächen mit Hilfe von Iterationsmethoden durchgeführt. Der Fall der elliptischen Riemannschen Fläche wird durch eine einfache Kette von Fundamentaltransformationen (geeignet normierte Quadratwurzeltransformationen) erledigt. Unter Anwendung des so gefundenen elliptischen Integrales sowie einer ebenfalls duích eine Iterationskette erledigten Voraufgabe (Spitzenpolygonaufgabe, Abbildung des Einheitskreises auf ein Orthogonalkreisbogenpolygon mit lauter Spitzen), läßt sich nunmehr der Fall der allgemeinen hyperelliptischen Riemannschen Fläche auf den Fall einer mit vorgegebener Relativverzweigung zu uniformisierenden Kreisscheibe zurückführen, eine Aufgabe, die wiederum durch eine Iterationskette gelöst wird. Die angewandten Iterationsmethoden gestatten auch die Bestimmung von relativ verzweigten Uniformisierenden beliebiger algebraischer Riemannscher Flächen; aus einer solchen Uniformisierenden läßt sich dann, wie im zweiten Teil näher begründet wird, die Hauptuniformisierende mittels eines unendlichen Produktes gewinnen. Der dritte Teil behandelt die Uniformisierung beliebiger analytischer Funktionen und die Fundamentalabbildung beliebiger offener Riemannscher Flächen. Hierbei werden nur gewöhnliche Punkte und Verzweigungspunkte endlicher Ordnung als Punkte der Riemannschen Fläche betrachtet, während Verzweigungspunkte unendlich hoher Ordnung als Grenzstellen aufzufassen sind. Jede solche Fläche \(F\) läßt sich im Sinne allmählicher Ausschöpfung auffassen als Grenzfläche von ``Hauptnäherungsbereichen'', das sind ``gewöhnliche'', d. h. endlichvielblättrige, nur endlich viele Windungspunkte enthaltende Riemannsche Flächenstücke, welche von geschlossenen, die Fläche \(F\) zerstückenden Linien (Hauptschnitte) so begrenzt werden, daß an jede einzelne derartige Linie ein selbständiges, grenzstrebiges Reststück der Fläche \(F\) anschließt. Unter einem ``Spezialbereich'' wird ein ein- oder mehrblättriger Bereich verstanden, der aus endlich vielen kongruenten Quadratflächen eines quadratischen Gitters zusammengesetzt gedacht werden kann. Besteht eine Fläche nur aus gewöhnlichen Punkten, so läßt sie sich insbesondere durch Spezialbereiche ausschöpfen. Der Gedankengang des Uniformisierungsbeweises (vgl. auch Berichte Leipzig 66 (1914), 67-75; F. d. M. 45, 670 (JFM 45.0670.*)) ist nun der folgende: Aus der Fläche \(F\) entsteht durch Entfernung aller Windungspunkte und der Unendlichpunkte eine ``punktierte'' Fläche \(F'\), welche nur aus gewöhnlichen endlichen Punkten besteht. \(F'\) kann durch Spezialnäherungsbereiche ausgeschöpft werden. Nun wird zunächst mit Hilfe der \(\mathfrak k\)-Funktion in Verbindung mit Iterationsniethoden und durch Bildung absolut konvergenter unendlicher Produkte die Hauptuniformisierende des Spezialbereiches \(S_n\) erhalten. Durch einen Grenzübergang ergibt sich sodann eine Fundamentalabbildung der Fläche \(F'\), also eine relativ verzweigte Fundamentalabbildung der Fläche \(F\), aus welcher wiederum durch Bildung eines unendlichen Produktes schließlich die gesuchte Fundamentalabbildung der Fläche \(F\) gewonnen wird. Das Verfahren umfaßt natürlich auch die Fundamentalabbildung geschlossener Riemannscher Flächen, welche in der vorliegenden Arbeit in den ersten beiden Teilen durch andere, der Struktur dieser Flächen organisch angepaßte Methoden geleistet wird, bei welchen insbesondere das unorganische Element der Approximation durch mehr oder weniger willkürlich begrenzte Näherungsbereiche vermieden wird. Auf Grund der Existenz der Hauptuniformisierenden ergibt sich mit Hilfe Poincaréscher Reihen noch der Satz, daß zu jeder Riemannschen Fläche eine eigentlich zu ihr gehörende analytische Funktion existiert (vgl. auch C. R. 148 (1909), 1446-1448; F. d. M. 40, 471 (JFM 40.0471.*)). Die Probleme der Uniformisierung analytischer Funktionen und beliebiger Riemannscher Flächen sind also äquivalent. Der vierte Teil behandelt die allgemeinen Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Als ``Riemannsche Mannigfaltigkeit'' wird hier jede Mannigfaltigkeit von Dingen (``Punkte'' genannt) bezeichnet, welche eineindeutig bezogen ist auf die Punkte einer ``idealen Riemannschen Fläche'', d. h. einer Fläche, welche aus endlich oder unendlich vielen, durch analytische Bezugssubstitutionen zwischen vorhandenen freien analytischen Rändern zu einer Einheit verbundenen gewöhnlichen Riemannschen Flächenstücken zusammengesetzt ist. Als Bezugsfläche kann dann insbesondere auch eine ``triangulierte ideale Riemannsche Fläche'' gewählt werden. Der Begriff der ''Riemannschen Mannigfaltigkeit'' umfaßt neben den gewöhnlichen Riemannschen Flächen u. a. ebenflächige, kugelflächige sowie analytisch begrenzte zweiseitige Polyeder, insbesondere auch die durch Fundamentalgruppen erzeugten Fundamentalmannigfaltigkeiten. ``Fundamentalgruppen'' sind Gruppen linearer Substitutionen ohne infinitesimale Substitutionen, deren Substitutionen in ihrer Gesamtheit entweder die Vollebene (sphärische Fundamentalgruppe) oder die punktierte Ebene (parabolische Fundamentalgruppen) oder das Innere des Einheitskreises (hyperbolische Fundamentalgruppen) in sich transformieren, und deren von der Identität verschiedene Substitutionen in den betreffenden Grundbereichen keinen Fixpunkt haben. Jedes System von (durch die Substitutionen der betrachteten Fundamentalgruppe) äquivalenten Punkten des Grundbereiches bildet einen Punkt der zugehörigen ``Fundamentalmannigfaltigkeit''. Die Fundamentaltheoreme besagen nun, daß jede Riemannsche Mannigfaltigkeit einer Fundamentalmannigfaltigkeit (erster Äquivalenzsatz), einer gewöhnlichen Riemannschen Fläche (zweiter Äquivalenzsatz), einem analytischen Gebilde (dritter Äquivalenzsatz) äquivalent ist. Die beiden letzten Äquivalenzsätze folgen verhältnismäßig leicht aus dem ersten, der präziser so ausgesprochen werden kann: Jede Riemannsche Mannigfaltigkeit ist einer und wesentlich nur einer Fundamentalmannigfaltigkeit äquivalent, wobei Fundamentalmannigfaltigkeiten, welche durch eine lineare Transformation der sie definierenden Fundamentalgruppen ineinander übergeführt werden können, als nicht wesentlich verschieden gelten (vgl. Annali di Mat. (3) 21 (1913), 67-64; F. d. M. 44, 495 (JFM 44.0495.*)). Der Fall einer idealen Riemannschen Fläche mit linearen Bezugssubstitutionen läßt sich fast unmittelbar auf die Betrachtung gewöhnlicher Riemannscher Flächen zurückführen. Im allgemeinen Falle gelingt dies durch Benutzung der Tatsache, daß eine analytische Substitution durch rationale Substitutionen approximiert werden kann. Da die letzteren in der ganzen Ebene erklärt sind, kann jede einzelne derartige Randbeziehung sofort durch tatsächliche Ausübung der Substitution in die Identität verwandelt werden, während dies bei beliebigen analytischen Substitutionen im allgemeinen nicht möglich ist. In beiden Fällen erhält man zunächst eine Uniformisierende mit Relativverzweigung, aus der dann wiederum durch Bildung unendlicher Produkte die Hauptuniformisierende erhalten wird. Als instruktive Beispiele werden sowohl kugelflächig begrenzte als auch von beliebigen regulären analytischen Flächenstücken gebildete zweiseitige Polyederflächen behandelt. Insbesondere ergibt sich, daß jede derartige Fläche eineindeutig konform, in den Eckpunkten jedenfalls noch stetig auf eine gewöhnliche Riemannsche Fläche abgebildet werden kann. Zum Schluß wird eine Klassifikation der Riemannschen Mannigfaltigkeiten nach dem Diskoutinuitätstypus ihrer Fundamentalgruppen vorgenommen, und es werden einige damit zusammenhängende Sätze aufgestellt. Schließlich sei noch der Satz erwähnt, daß parabolische Substitutionen in einer Fundamentalmannigfaltigkeit immer als Umlaufssubstitutionen parabolischer Öffnungen der Mannigfaltigkeit auftreten. Eine Weiterführung der vorliegenden Untersuchungen findet man in den Arbeiten des Verf: Riemannsche Mannigfaltigkeiten und nichteuklidische Raumformen I (Sitzungsberichte Akad. Berlin 1927, 164-196; F. d. M. 53, Abschn. V, Kap. 2); II, III (ibidem 1928; 345-384, 385-442; F. d. M. 54); IV (ibidem 1929, 414-457; F. d. M. 55).