Sur quelques questions de minimum liées à la représentation conforme. (Q1447349)

Verf. geht davon aus, daß einerseits das Maximum einer in einer abgeschlossenen Punktmenge \(\mathfrak U\) stetigen, nicht negativen Funktion gleich dem für \(p\to+\infty\) genommenen Limes des Mittels \(p\). Ordnung der Funktion in \(\mathfrak U\) ist, und das andererseits diejenige analytische Funktion \(Z=f(z)\), die ein beschränktes, einfach zusammenhängendes, den Nullpunkt enthaltendes Gebiet \(\mathfrak G\) eineindeutig und konform auf die Kreisscheibe \(|Z|\leqq\varrho\) abbildet, unter allen in \(\mathfrak G\) analytischen, den Bedingungen \[ \varphi(0) = 0, \qquad \varphi'(0)=1 \] genügenden Funktionen \(\varphi(z)\) durch eine Minimumseigenschaft eindeutig charakterisiert ist, nämlich dadurch, daß Max \(|\varphi(z)|\) für alle \(z\subset\mathfrak G\) ein Minimum ist. Unter Benutzung der in der Arbeit ``Sur les moyennes des modules des fonctions analytiques'' (Bulletin sc. Math. (2) 51 (1927), 198-214; F. d. M. 53, 306 (JFM 53.0306.*)) hergeleiteten Ungleichungen über Mittelbildungen wird folgender Satz bewiesen: Man erhält \(f(z)\), indem man zunächst diejenige Funktion \(f_p(z)\) aufsucht (sie ist eindeutig bestimmt), für die das Mittel \(p\). Ordnung ihres absoluten Betrages auf \(\mathfrak G\) ein Minimum ist; alsdann ist \(\lim\limits_{p\to\infty}f_p(z)=f(z)\), und zwar ist die Konvergenz in jedem abgeschlossenen, im Innern gelegenen Teilbereich von \(\mathfrak G\) gleichmäßig. Wenn \(\mathfrak G\) mit dem Kreis \(|z|\leqq\varrho\) identisch ist, so sind alle \(f_p(z)\) und also auch \(f(z)\) identisch gleich \(z\).