A simple method for normalizing Tchebycheff polynomials and evaluating the elements of the allied continued fractions. (Q1447393)

Das Polynomsystem \(P_n(x)=x^n-S_n(p)x^{n-1}+\cdots\) sei im Intervall \(\langle\,a,b\,\rangle\) orthogonal, mit der ``charakteristischen Funktion'' \(p(x)\), und \(\varPhi_n(x)=a_n(p)\,P_n(x)\) das zugehörige normierte System. Die Berechnung von \(a_n(p)\) (= Normierung) und \(S_n(p)\) läßt sich (wenn \(p(x)\) differenzierbar) auf die Auswertung von Integralen der Form zurückführen: \[ \int_a^bp'(x)x^\varepsilon\,\varPhi_n(x)\,\varPhi_m(x)\,dx;\; \varepsilon= 0,1;\; m=n,n+1. \] Aus \(a_n\), \(S_n\) erhält man sehr einfach die Koeffizienten des zum Integral \[ \int_a^b\frac{p(y)\,dy}{x-y} \] ``assoziierten'' Kettenbruchs, als dessen Näherungsnenner die \(P_n(x)\) sich auffassen lassen, sowie für \(a\geqq 0\) die des ``korrespondierenden'' Kettenbruchs. (Siehe auch Abschn. IV, Kap. 11.).