Three theorems on closure of biorthogonal systems. (Q1447469)

Verf. überträgt einen Satz von Birkhoff (Proceedings USA Academy 3 (1917), 656-659; F. d. M. 46, 646 (JFM 46.0646.*)) über Orthogonalsysteme auf Biorthogonalsysteme. Ein Orthogonalsystem stetiger Funktionen hat eine ``\(k\)-fache Lücke'', wenn genau \(k\) nicht identisch verschwindende, linear unabhängige Funktionen existieren, die zu allen Funktionen des Systems orthogonal sind. Es wird bewiesen: Sind auf dem Intervall \(\langle a, b \rangle\) \[ \begin{aligned} & u_0(x),\, u_1(x),\, u_2(x),\ldots, \\ & v_0(x),\, v_1(x),\, v_2(x),\ldots \end{aligned} \] und \[ \begin{aligned} & \bar{u}_0(x),\, \bar{u}_1(x),\, \bar{u}_2(x),\ldots, \\ & \bar{v}_0(x),\, \bar{v}_1(x),\, \bar{v}_2(x),\ldots \end{aligned} \] zwei biorthogonale Systeme, bleibt der Wert der konvergenten Reihe \[ \sum_{n=0}^{\infty}(u_n(x)-\bar{u}_n(x)) v_n(y),\qquad a \leqq x, y \leqq b \] unter \(\dfrac{1}{b-a}\) gelegen, und ist ferner die Konvergenz so beschaffen, daß die mit einer stetigen Funktion in \(x\) multiplizierte Reihe noch gleichmäßig konvergiert, so hat das System \(\bar{u}_0(x), \bar{u}_1(x), \bar{u}_2(x),\ldots\) höchstens eine \(k\)-fache Lücke, sofern das System \(u_0(x), u_1(x), u_2(x),\ldots\) genau eine \(k\)-fache Lücke besitzt. Der Beweis wird durch Ergänzung des Systems \(u_0(x)\), \(u_1(x)\), \(u_2(x),\ldots\) zu einem vollständigen geführt. Sodann folgen Anwendungen auf Integralgleichungen mit unsymmetrischem Kern: Haben die Eigenfunktionen von \[ u(x)=\lambda\int\limits_a^b K(x,\xi)u(\xi)\,d\xi \] nur eine endliche Lücke, so gibt es mindestens eine stetige, nicht identisch verschwindende Funktion \(F(x)\), für die \[ \int\limits_a^b K(x,\xi)F(\xi)\,d\xi =0 \] ist. Beweis durch Zurückführung auf Biorthogonalsysteme. Endlich wird der Satz noch mit Hilfe des Eigenwertes \(\infty\) formuliert.