Equazioni integrali contenenti il valore principale di un integrale doppio. (Q1447481)

Verf. setzt sich das Ziel, zweidimensionale singuläre Integralgleichungen, in denen der Kern einen Pol zweiter Ordnung bezüglich des Abstandes \(r\) hat, zu untersuchen. Seine wichtigen Resultate treten somit den Carlemanschen für den eindimensionalen Fall an die Seite. Der Cauchysche Hauptwert singulärer Doppelintegrale wird definiert und durch einen Stern bezeichnet; er gibt die Möglichkeit, die Derivierten logarithmischer und allgemeiner Feldpotentiale zu berechnen. Ist z. B. \[ V(P) = \iint\limits_S \log \frac{1}{r(PQ)} \mu(Q) \, dS_Q, \] ein solches, so erhält man seine ersten Ableitungen durch Differentiation unter dem Integral; für die zweiten aber gilt \[ \frac{\partial^2 V}{\partial t_1\, \partial t_2} = \iint\limits_S^{\quad *} \log \frac{d^2\log^1\!\!/r}{dt_1\, dt_2} \mu(Q) \, dS_Q -\pi\mu(P)\cos(t_1,t_2) \] Weiterhin wird die Vertauschbarkeit der Integrationsfolge für singuläre Doppelintegrale mit dem Kern \[ M(P,Q) = \frac{f(\theta)}{r^2}, \] wo \(r =\overline{PQ}\), \(\theta = \text{arg} (x, \overline{PQ})\) ist, untersucht. Das Resultat, das die Poincarésche Inversionsformel im eindimensionalen Falle zur Parallele hat, lautet: \[ \displaylines{\iint\limits_{S_1}^{\quad *}M_1(P,R)\,dS_R \iint\limits_{S_1}^{\quad *}M_2(R,Q)F(P,Q,R)\,dS_Q \hfill\cr\;\hfill =\iint\limits_{S_1}^{\quad *}\,dS_Q \iint\limits_{S_2}^{\quad *} M_1(P,R) M_2(R,Q)F(P,Q,R)\,dS_R\cr \hfill + F(P,P,P) 2\pi \int\limits_0^{2\pi} f_1(\theta)f_2(\theta+ \pi)\, d\theta. \hfill} \] Die Komposition zweier Kerne vom Typus \(M(P,Q)\) im Falle der unendlichen Ebene als Bereich läßt sich explicite durchrechnen und führt auf einen neuen Kern vom gleichen Typ mit anzugebender Charakteristik \(f(\theta)\). Sie gibt endlich die Möglichkeit, die singuläre Integralgleichung \[ \varPhi(P) -\lambda\iint\limits_{\infty}^{\quad *} M(P,Q) \varPhi(Q) \, dS_Q = F (P) \] zu lösen, indem deren Komposition mit einem geeignet zu wählenden Kern \(N(P,Q)\) die Größe \(\varPhi\) explicite liefert; \(N\) bestimmt sich dabei aus einer eindimensionalen singulären Integralgleichung, die sich sogar auf eine stets lösbare Fredholmsche Gleichung zweiter Art reduzieren läßt. Verf. führt als interessantes Beispiel das des Kernes mit der Charakteristik \(f(\theta) = \cos \theta\) durch. Ist das Integrationsgebiet nicht die unendliche Ebene, sondern ein endlicher Bereich derselben, so versagen die bisherigen Methoden Trotzdem kann Verf. das Beispiel der Integralgleichung mit \(f(\theta) = \cos 2\theta\) durchführen. Setzt man nämlich \[ V(P)=\iint\limits_S^{\quad *} \log \frac{1}{r} \varPhi(Q) \, dS_Q, \] so genügt \(V\) der Differentialgleichung \[ (1 + \lambda\pi) \frac{\partial^2V}{\partial x^2} + (1 - \lambda\pi) \frac{\partial^2V}{\partial y^2} + 2\pi F(P) = 0 \tag{\(\dagger\)} \] mit der neuartigen Randbedingung \[ \int\limits_R\left\{ V(Q) \frac{d\log^1\!\!/r}{dn_Q} \log \frac{1}{r} \left( \frac{d\, V}{dn}\right)_Q\right\} \, ds_Q + \pi V(P) = 0. \tag{*} \] Für \(\lambda^2 = \dfrac{1}{\pi}\) wird (\(\dagger\)) parabolisch; ist demnach \(V_0\) irgend ein Partikulärintegral, so sind in \(V= V_0 + \varphi(y) + x\psi(y)\) die Funktionen \(\varphi,\psi\) so zu bestimmen, daß (\(^*\)) erfüllt wird, was auf eine lösbare eindimensionale singuläre Integralgleichung vom Carlemanschen Typus führt. (Siehe auch Abschn. IV, Kap. 13.)