Sull' equazione integrale di Abel con limiti d'integrazione costanti. (Q1447483)

Verf. sucht Carlemans Ergebnisse (M. Z. 15 (1922), 111-120; F. d. M. 48, 457 (JFM 48.0457.*)-458) über die Integralgleichung \(\displaystyle \int\limits_0^1 |x-y|^{-\alpha}\varphi(y)\, dy = f(x)\), \(0 < \alpha < 1\), zu verbessern. Er benutzt dazu einen Kunstgriff. Zuerst zeigt er, daß der Kern eigentlich positiv definit ist und daher im Bereich der summablen Funktionen nur solche Lösungen für die homogene Gleichung zuläßt, die fast überall verschwinden. Dazu verhilft eine Formel über bestimmte Integrale ; wird \(z = x - y\) gesetzt, so gilt \[ \int\limits_0^{\infty} t^{\alpha-1} \cos zt\, dt = |z|^{-\alpha}\cdot \varGamma(\alpha) \cos \frac{\alpha\pi}{2}= |z|^{-\alpha}\cdot \beta, \] was eine Entscheidung über die bilineare Integralform mit dem obigen Kern erlaubt. Um zu einer Lösungsformel zu kommen, wird die Bemerkung Carlemans benutzt, daß es genügt, \textit{eine} von allen Gleichungen lösen zu können, deren Kerne dieselben Singularitäten haben wie \(|x-y|^{-\alpha}\); hat man eine solche Lösung, so läßt sich jede andere Gleichung der Klasse auf eine Fredholmsche Gleichung zweiter Art zurückführen. Es wird also eine Hilfsgleichung mit dem Kern \[ k (z) = 1 + \sum n^{\alpha-1} \cos nz = \beta\cdot|z|^{-\alpha} + h (z) \] und den festen Grenzen 0, \(\pi\) gelöst; das führt zu einer sehr einfachen und explicite angebbaren Lösung. Als Lösbarkeitsbedingung ergibt sich: \(f(x)\) muß in eine cos-Reihe entwickelbar sein (Sinusglieder können wegen der Grenzen wegbleiben); sind die Koeffizienten \(a_n\), so muß auch noch die cos-Reihe mit den Koeffizienten \(a_n \cdot n^{1-\alpha}\) gliedweise integrierbar sein. Das gilt z. B., wenn auch noch \(f'(x)\) vorhanden und von beschränkter Schwankung ist. Die erhaltenen Bedingungen sind weiter als die Carlemans, der \(f(x)\) analytisch voraussetzen muß. Ein wesentlicher Fortschritt ist auch die Vermeidung des Komplexen.