A class of integral equations occurring in physics. (Q1447485)

Die Arbeit enthält eine große Reihe von Formeln für die Umkehrung bestimmter Integrale. Die Formeln werden aus den Doppelintegralen von Fourier und von Fourier-Bessel hergeleitet und sind von großer Allgemeinheit, da sie eine Anzahl willkürlicher Parameter enthalten. Als Spezialfall schließen die Formeln die durch die Abelsche Integralgleichung gegebene Umkehrungsformel ein. Die Fundamentalformeln werden durch folgende zwei Gleichungen gegeben: \[ \begin{aligned} f(x) & =\frac{2}{\pi} \sin \sigma\pi \frac{\partial}{\partial x} x\int\limits_0^{\infty} \frac{(\text{sinh}\, q)^{2\sigma-1}}{(\text{cosh}\, q)^2} \, dq \int\limits_0^{\infty} \frac{f\left(\dfrac{x\sin \theta}{\text{cosh}\, q}\right)}{(\cos \theta)^{2\sigma-1}} \, d\theta, \\ f(x) & =-\frac{2}{\pi} \sin \sigma\pi \frac{\partial}{\partial x} \int\limits_0^{\dfrac{\pi}{2}} \frac{(\cos \theta)^{1-2\sigma}}{(\sin \theta)^2} \, d\theta \int\limits_0^{\infty} \frac{f\left(\dfrac{x\text{cosh}\, q}{\sin \theta}\right)}{ (\text{sinh}\, q)^{1-2\sigma}} \, dq; \end{aligned} \] dabei ist \(0 < \sigma < 1\), und \(f(x)\) genügt Bedingungen, welche aus den bekannten hinreichenden Bedingungen für die Doppelintegralsätze von Fourier und von Bessel-Fourier folgen. Aus diesen beiden Grundformeln leiten die Verf. eine beträchtliche Anzahl von Formeln her, indem sie \(f(x) = 0\) setzen für \(0 \leqq x \leqq Y\) und \(x \eqslantgtr \delta\) und \(f(x)\) für \(Y < x < \delta\) willkürlich lassen. Als typische Resultate werden genannt: \[ \frac{\pi}{\sin \sigma\pi} \varPhi(\xi) = \frac{\partial }{\partial \xi} \int\limits_{\nu}^{\xi} \frac{d\eta}{(\xi-\eta)^{1-\sigma}} \int\limits_{\nu}^{\eta} \frac{\varPhi(\zeta)\, d\zeta}{(\eta-\zeta)^{\sigma}}, \quad 0 <\sigma < 1,\quad \nu\leqq \xi, \] also die Abelsche Umkehrungsformel; \[ \displaylines{\hfill \int\limits_{\delta}^{x} \frac{y\, dy}{(x^2-y^2)^{1-\sigma}} \int\limits_{Y}^{\delta} \frac{f(z)\, dz}{(x^2-z^2)^{\sigma}} + \int\limits_{Y}^{\delta} \frac{y\, dy}{(x^2-y^2)^{1-\sigma}} \int\limits_{Y}^{y} \frac{f(z)\, dz}{(y^2-z^2)^{\sigma}} = \frac{\pi}{2\sin \sigma\pi}\int\limits_{Y}^{\delta} f(z)\, dz, \hfill\cr \hfill 0<\sigma<1, \;Y<\delta< x. \hfill} \] Nimmt man \(f(x)\) für \(Y < x < \delta\) gleich Null und willkürlich für die anderen Werte von \(x\), so erhält man weitere Formeln.