A generalization of an integral equation due to Bateman. (Q1447486)

Die Arbeit gibt einen Beweis für die folgenden Formeln, die gewisse von Bateman und Hardy aufgestellte Formeln verallgemeinern: Ist \(-1<a<b<1\) und \(|\varPhi(x)|\) auf \(\langle a, b \rangle\) integrierbar, wird \[ f(s) = \int\limits_a^b \varPhi(u) \begin{matrix} \cos\\ \sin \end{matrix} us\,du \] und \[ K(x,s,t)=(\nu-1) \frac{J_{\nu-1}(x-t)}{x-t}J_{\nu}(x-s) + \nu \frac{J_{\nu}(x-t)}{x-t}J_{\nu-1}(x-s) \] gesetzt, wobei \(J_{\nu}(x)\) die Besselsche Funktion bedeutet, dann ist \[ \int\limits_s^{\infty} dx \int\limits_{-\infty}^x K(x,s,t) f(t)\, dt = 2f(s) \] für \(\nu > 1\), und \[ \int\limits_s^{\infty} dx \int\limits_{-\infty}^{\infty} K(x,s,t) f(t)\, dt = 2f(s), \] wenn \(\nu\) eine positive oder negative ganze Zahl oder Null ist.