Sur quelques propriétés relatives à la structure des ensembles de fonctionnelles. (Q1447507)

1. Es wird eine unendliche Menge \(U\) von Funktionalen \(\varphi\) betrachtet, von denen jedes auf derselben Menge \(W\) von Kurven \(C\) definiert ist. \(\varphi (C)\) ist eine reelle Zahl, und für alle \(\varphi\) und \(C\) gelte: \(|\varphi (C)| < M\). 2. Werden aus \(W\) die Kurven \(C_1,\ldots, C_p\) fest ausgewählt, und ist \(\varepsilon > 0\) gegeben, so kann man aus \(U\) eine unendliche Menge \(U (\varepsilon, C_1,\ldots, C_p)\) auswählen derart, daß zwei Funktionale dieser Menge die Ungleichung erfüllen: \[ |\varphi_1(C_i) - \varphi_2(C_i)| \leqq \varepsilon \qquad (i=1,\ldots, p). \] Diese Auswahl heißt ``\(\varepsilon\)-Siebug von \(U\) auf den \(C_i\)'' und spielt bei den Beweisen zu den folgenden Sätzen eine Rolle. 3. Ein Funktional \(\varphi_0(C)\) heißt ein Pseudohäufungsfunktional von \(U\), wenn man jeder beliebig kleinen Zahl \(\varrho > 0\) und jeder beliebig großen ganzen Zahl \(k\) wenigstens ein \(\varphi\neq \varphi_0\) und \(p\) Kurven \(C_1,\ldots,C_p\) zuordnen kann derart, daß \(p\geqq k\) und \(|\varphi (C_i) - \varphi_0(C_i)|\leqq\varrho\) (\(i=1,\ldots, p\)) ist. Satz: Jede beschränkte Menge von Funktionalen besitzt wenigstens ein Pseudohäufungsfunktional. 4. \(\varphi_0(C)\) ist ein ''Häufungsiunktional von \(U\), wenn es zu jedem \(\varepsilon > 0\) unendlich viele \(\varphi\) gibt derart, daß \(|\varphi (C) \varphi_0(C)|\leqq\varepsilon\) für alle \(C\) aus \(W\) ist. Es sei die ``Entfernung'' zweier Kurven irgendwie definiert und sie genüge der Dreiecks-Bedingung: \[ \text{Entf. } (C_1C_3)\leqq \text{Entf. } (C_1C_2) + \text{Entf. } (C_2C_3). \] Dann heißen die Funktionale \(\varphi (C)\) gleichgradig stetig, wenn sich jedem \(\varepsilon > 0\) ein \(\varrho > 0\) zuordnen läßt derart, daß für alle \(\varphi\) und je zwei beliebige \(C_1, C_2\), die der Bedingung Entf. \(C_1 C_2\leqq\varrho\) genügen, die Ungleichung \(|\varphi (C_2) - \varphi (C_1)|\leqq\varepsilon\) erfüllt ist. Wenn es sich um Mengen von \textit{Funktionen} handelt, so sichert die Beschränktheit und gleichgradige Stetigkeit nach dem Satz von Ascoli die Existenz einer Häufungsfunktion. Bei Mengen von Funktionalen gilt ein analoger Satz nicht. Um ihn zu retten, kann man z. B. \(W\) einschränken. 5. \(W\) erfüllt die Bedingung (\(\alpha\)), wenn man jedem \(\mu > 0\) \(n\) Kurven \(C_1,\ldots, C_n\) von \(W\) zuordnen kann, so daß es zu jedem \(C\) aus \(W\) mindestens eines dieser \(C_i\) mit geringerer Entfernung als \(\mu\) gibt. Satz: Genügt \(W\) der Bedingung (\(\alpha\)) und sind die \(\varphi\) aus \(U\) gleichbeschränkt und gleichgradig stetig, so besitzt \(U\) wenigstens ein Häufungsfunktional, das auf \(W\) definiert und stetig ist. (Schon von Fréchet bewiesen.) 6. Läßt man die Bedingung (\(\alpha\)) wieder fallen, so gilt noch der Satz: Sind die \(\varphi\) aus \(U\) gleich beschränkt und gleichgradig stetig, so besitzt \(U\) wenigstens ein stetiges Pseudohäufungsfunktional. 7. \(\varphi_0 (C)\) heißt ein Quasihäufungsfunktional von \(U\), wenn man zu \(p\) beliebig herausgegriffenen Kurven \(C_1,\ldots, C_p\) und zu beliebigem \(\varepsilon\) eine unendliche Teilmenge \(U'\) von \(U\) finden kann, für deren Elemente \(|\varphi (C_i) - \varphi_0(C_i)|\leqq\varepsilon\) (\(i=1,\ldots,p\)) gilt. Eine Kurvenmenge \(W\) erfüllt die Bedingung (\(\beta\)), wenn sie eine Folge \(C_1, C_2,\ldots\) enthält derart, daß es zu jedem \(C\) aus \(W\) und zu jedem \(\varrho > 0\) wenigstens ein \(C_i\) mit geringerer Entfernung als \(\varrho\) gibt. Satz : Genügt \(W\) der Bedingung (\(\beta\)), und sind die \(\varphi\) aus \(U\) gleichbeschränkt und gleichgradig stetig, so besitzt \(U\) wenigstens ein Quasihäufungsfunktional. 8. \(U\) sei eine Menge von Funktionalen, die gleichbeschränkt, gleichgradig stetig und für alle stetigen Kurven \(C\) eines beschränkten Bereiches definiert sind. Wenn man jedem \(\varepsilon > 0\) ein ganzzahliges \(p\) gegenüberstellen kann, so daß für jedes \(\varphi\) aus \(U\) und jedes \(C\) \(|\varphi (C) - \varphi (C')| < \varepsilon\) gilt, wo \(C'\) ein \(p\)-seitiges Sehnenpolygon von \(C\) ist, so besitzt \(U\) ein stetiges Häufungsfunktional.