Linear inequalities in general analysis. (Q1447511)

Es wird die funktionale lineare Ungleichung \[ \xi + J_{x\xi} > 0 \tag{1} \] betrachtet, in der \(J\) eine Funktionaloperation mit dem Kern \(x\) ist. Als Basis wird das Mooresche \(\varSigma_5\) benutzt (E. H. Moore; Bulletin A. M. S. 18 (1912), 334-362; F. d. M. 43, 424 (JFM 43.0424.*)-425). Die Ungleichung (1) ist äquivalent mit der Gleichung \[ \xi + J_{x\xi} = \pi, \tag{2} \] wobei \(\pi\) durchweg positiv ist. Ist die Fredholmsche Determinante \(F_x \neq 0\), so lautet die Lösung \(\xi = \pi + J_{\lambda\pi}\), wo \(\lambda\) der reziproke Kern zu \(x\) ist. Ist dagegen \(F_x = 0\), so hat die Gleichung im allgemeinen keine Lösung; die homogene Gleichung \(\xi + J_{x\xi} = 0\) hat endlich viele linear unabhängige Lösungen \(\xi_1,\ldots, \xi_m\), die adjungierte Gleichung \[ \mu + J_{\mu x} = 0 \tag{3} \] ebenso viele \(\mu_1,\ldots, \mu_m\). Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Lösbarkeit von (2) ist, daß \(\pi\) zu allen \(\mu_i\) orthogonal ist. Die Lösung lautet dann: \[ \xi = \pi + J_{\lambda\pi} + \sum\limits_{i=1}^m c_i\xi_i \] (vgl. Hildebrandt, Annals of Math. (2) 21 (1920), 323-330; F. d. M. 47, 388 (JFM 47.0388.*)-389). Im vorliegenden Fall kommt es also darauf an, ob es ein zu allen \(\mu_i\) orthogonales \(\pi\) gibt: \(J_{\mu_i\pi} = 0\) (\(i= 1,\ldots, m\)). Es müssen den Mooreschen Postulaten zwei weitere hinzugefügt werden: Eine reelle Funktion (einer allgemeinen Variablen) heißt \(M\)-definit, wenn sie nicht identisch Null ist und wenn sie im Definitionsbereich ihr Vorzeichen nicht wechselt. Dann lauten die Postulate: (\(N\)) Ist \(\mu\) \(M\)-definit und \(\pi\) positiv, so ist \(J_{\mu\pi}\neq 0\). (\(E\)) Wenn keine lineare Kombination der Funktionen \(\mu_1,\ldots, \mu_m\) \(M\)-definit ist, so gibt es eine positive Funktion \(\pi\) mit \(J_{\mu_i\pi} = 0\) (\(i= 1,\ldots, m\)). Für die so eingeschränkten Funktionsfelder und Funktionaloperationen gilt der Satz: Die Ungleichung (1) hat eine Lösung dann und nur dann, wenn die adjungierte Gleichung (3) keine \(M\)-definite Lösung hat. Die Ungleichung \(\xi + J_{x\xi} > \eta\) mit gegebenem \(\eta\) läßt sich auf (1) zurückführen.