Sur les fonctionnelles de M. Banach et leur application aux développements des fonctions. (Q1447512)

\(E\) bezeichne den vektoriellen, metrischen und vollständigen Raum im Sinne von Banach (1922; F. d. M. 48, 201 (JFM 48.0201.*)-202); jedem Element \(x\) von \(E\) entspricht eine Zahl \(\geqq 0\), seine Norm, bezeichnet mit \(\|x\|\). Betrachtet werden Funktionale \(u(x)\), die jedem Element \(x\) von \(E\) eine meßbare Funktion der Variablen \(t\) im Intervall \((0, 1)\) zuordnen. Sind \(\varphi\) und \(\psi\) zwei solche Funktionen, so soll die Bezeichnung \[ \varphi \leqq \psi, \quad \text{bzw.} \quad \varphi < \psi \quad [L, \alpha] \] bedeuten, daß \(\varphi \leqq \psi\) bzw. \(\varphi < \psi\) in einer Teilmenge \(L\) von \((0, 1)\) mit dem Maß \(\geqq \alpha\) gilt. Ist \(\{u_n(x)\}\) eine Folge von Funktionalen, so werde \[ \max [|u_1(x)|, |u_2(x)|, \dots, |u_n(x)|] \] mit \(v_n(x)\) bezeichnet, ferner \(\lim\limits_{n\to\infty} v_n(x)\) mit \(v(x)\). Die folgenden Sätze verallgemeinern die von Banach (Bulletin sc. Math. (2) 50 (1926); 27-32, 36-43; F. d. M. 52) angegebenen. Satz I. Ist \(\{u_n(x)\}\) eine Folge von stetigen Funktionalen, so ist die Menge der Punkte \(x\), wo \(v(x) \leqq k\, \, [L, \alpha]\) ist, abgeschlossen für jedes Paar von reellen Zahlen \(k\), \(\alpha\). Satz II. Wenn (1) \(\{u_n(x)\}\) eine Folge von stetigen Funktionalen, (2) \(\alpha\) eine Zahl ist derart, daß die Menge der \(x\), für die die Relationen \[ v (x) < \infty \, \, [L, \alpha^\prime], \quad \alpha^\prime > \alpha \] gelten, von der zweiten Kategorie (Hausdorff) ist, so existiert eine Kugel \(K\) und zwei Zahlen \(N\) und \(\alpha_0 > \alpha\), so daß für jedes \(x\) aus \(K\) gilt: \(v (x) \leqq N\, \, [L, \alpha_0]\). Satz III. Sind außerdem (3) die \(u_n(x)\) linear, (4) \(v(x)\) fast überall endlich in \(L\) für jedes \(x\) aus einer in \(E\) überall dichten Menge, so gibt es ein \(\alpha_1 > \alpha\) und ein \(S\), so daß für jedes \(x\) \[ v(x) \leqq S \|x\| \quad [L, \alpha_1] \] ist. Drei weitere Sätze beschäftigen sich mit der Konvergenz von \(\{u_n(x)\}\). Anwendungen auf die Entwicklung der summierbaren Funktionen in Reihen von Orthogonalfunktionen: Die \(f_1(t), f_2(t), \dots, \) seien in \((0, 1)\) beschränkt und orthogonal. Man setze für jede in \((0, 1)\) summierbare Funktion \(x(t)\): \[ u_n(x) = \sum_{k=1}^n a_k f_k(t), \quad \text{ wo } \quad a_k = \int_0^1 lx(t) f_k(t)\, dt. \] Dann gilt: Jedem System \(f_1(t), f_2(t), \dots\) entspricht eine Teilmenge \(L_0\) von \((0, 1)\) derart, daß die Reihenentwicklung jeder summierbaren Funktion fast überall in \(L_0\) konvergiert, während es summierbare Funktionen \(x (t)\) gibt, für die \[ \limsup_{n\to\infty} \left| \sum_{k=1}^n a_k f_k\right| = \infty \] fast überall außerhalb \(L_0\) gilt. Von den weiteren Sätzen sei noch erwähnt: Wenn \(T_1\), \(T_2\), \dots, \(T_n\), \dots eine Folge von linearen Summationsprozessen bedeutet, und wenn es für jedes \(n\) eine Funktion gibt, deren Entwicklung nach den \(f_k(t)\) in fast jedem Punkte einer Menge \(L\) nicht durch \(T_n\) summierbar ist, so gibt es eine Funktion, deren Entwicklung in fast jedem Punkt von \(L\) durch keines der Verfahren \(T_n\) summierbar ist.