Laplacians and continuous linear functionals. (Q1447522)

Nach F. Riesz läßt sich ein lineares stetiges Funktional von Funktionen \(f(x)\) einer Variablen durch ein Stieltjessches Integral \(\int\limits_a^b f(x) \, d\alpha (x)\) darstellen, wobei \(\alpha (x)\) von beschränkter Variation ist. Evans u. A. haben analoge Darstellungen für ein Funktional von Funktionen in mehrdimensionalen Räumen gegeben, die aber die Wahl bestimmter Achsen notwendig machen. Wiener gibt eine vektorielle Darstellung für die Dimensions zahl drei: Wie die Derivierte aus dem Differenzenquotienten \(\dfrac 1h (f(x + h) - f (x))\), so geht der Laplacesche Operator \(\varDelta\) aus dem Operator \[ \frac{6}{h^2}\left\{ \frac{1}{4\pi h^2} \iint\limits_{|\mathfrak x|=h} f(x + \mathfrak x)\, dS - f(x)\right\} \] (\(x\) und \(\mathfrak x\) dreidimensionale Vektoren) hervor. Da die totale Variation von \(f\) im eindimensionalen Fall durch \[ \varlimsup_{h\to 0} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac 1h |f(x+h) - f(x)|\, dx \] dargestellt werden kann, so wird für drei Dimensionen die totale Variation definiert durch \[ V(f) = \varlimsup_{h\to 0} \iiint\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{6}{h^2} \left| \frac{1}{4\pi h^2} \iint\limits_{|\mathfrak x|=h} f(x + \mathfrak x)\, dS f(x)\right|\, dx. \] Ebenso entspricht dem Stieltjes'schen Integral die Größe \[ \nabla f(x) \varDelta \alpha (x) = \lim\limits_{h\to 0} \iiint\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{6f(x)}{h^2} \left( \frac{1}{4\pi h^2} \iint\limits_{|\mathfrak x|=h} \alpha (x + \mathfrak x) \, dS - \alpha (x)\right)\, dx. \] Satz: Ist \(\alpha (x)\) von beschränkter totaler Variation, so ist \(\nabla f (x) \varDelta \alpha (x)\) endlich für jedes beschränkte, stetige und für \(|x| \to \infty\) verschwindende \(f (x)\). Dabei ist \[ \nabla f(x) \varDelta \alpha (x) \leqq \max |f(x)| \, V(\alpha). \] Ist umgekehrt \(F\{f\}\) ein lineares Funktional, das für alle beschränkten, stetigen und für \(x \to \infty\) verschwindenden \(f\) definiert ist, und gibt es ein \(K\), so daß stets \[ F\{f\}\leqq K\max |f(x)| \] ist, so existiert eine Funktion \(\alpha (x)\) von beschränkter totaler Variation, so daß \[ F\{f\}= \nabla f(x) \varDelta \alpha (x) \] ist; \(\alpha\) ist eindeutig bis auf eine additive harmonische Funktion. Außerdem werden ein dreidimensionales Analogon zum Fejérschen Satz und einige weitere Sätze über Fouriersche Integrale bewiesen.