On Dirichlet's functionals. (Q1447529)

Der Verf. versteht unter einem ``Dirichletschen Funktional'' ein Funktional der Form: \[ F |[S(\tau)] | = \sum_{n=1}^\infty a_n \exp \left(-\int_0^1 \lambda_n(\tau) S(\tau) \, d\tau\right). \] Dabei bedeuten die \(\lambda_n(\tau)\) eine im abgeschlossenen Intervall \(< 0, 1 >\) definierte, mit \(n\) monoton wachsende Funktionenfolge, dit für \(n\to\infty\) gleichmäßig gegen \(\infty\) geht; die \(a_n\) sind gegebene reelle oder komplexe Konstanten; \(S (\tau) = \sigma(\tau) + it(\tau)\) ist eine in \(0 \leqq \tau \leqq 1\) definierte komplexe Funktion der reellen Variablen \(\tau\); das Integral endlich ist im Lebesgueschen Sinn zu nehmen. Zunächst werden einige allgemeine Sätze über die Konvergenzeigenschaften solcher Funktionale bewiesen; an Beispielen wird gezeigt, daß es Funktionale gibt, die für kein \(S(\tau)\), solche, die für jedes \(S(\tau)\), und endlich solche, die nur für gewissen Bedingungen genügende \(S(\tau)\) konvergieren. Sodann wird eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür angegeben, daß \(S(\tau)\) Konvergenzfunktion eines vorgegebenen Funktionals ist, und weiterhin dafür, daß \(S(\tau)\) eine Funktion absoluter Konvergenz ist, d. h. daß \(\sum\limits_{n=1}^\infty |a_n|\, e^{-\int_0^1 \lambda_n S\, d\tau}\) konvergiert. Nachdem noch einige Beziehungen zwischen den Konvergenzfunktionen, den Funktionen absoluter Konvergenz, den beschränkten Funktionen und den beschränkten Funktionen absoluter Konvergenz dargetan sind, wird die Frage der gleichmäßigen Konvergenz und schließlich die der Stetigkeit der Reihe untersucht.