On analytic solutions of differential equations in the neighbourhood of non-analytic points. (Q1447587)

Die allgemeine Lösung des Systems \[ \frac{dx_i}{dt}=\sum_{k=1}^n a_{ik}x_k\qquad (i=1,2,\ldots,n; a_{ik}= \text{komplexe Konstante}) \tag{1} \] habe die Eigenschaft \(x_i\to 0\), wenn \(\Re(t)\to-\infty\) und \(\mathfrak F(t)\) beschränkt. Gefragt wird nach Bedingungen, die für die Existenz einer Lösung gleicher Eigenschaft für das System \[ \frac{dx_i}{dt}=\sum_{k=1}^n a_{ik}x_k+\varPhi_i(x_1,\ldots,x_n)\qquad (i=1,2,\ldots,n) \tag{2} \] hinreichen. Die Matrix \((a_{ik})\) sei durch lineare Transformation der \(x_i\) bereits auf Halbdiagonalform gebracht, und ihre charakteristischen Wurzeln \(\lambda_i\) seien, was stets möglich ist, so normiert, daß \(\Re(\lambda_1)=1\) und \(1\leqq \Re(\lambda_i)<2\) für \(\geqq 2\). Sind dann die \(\varPhi_i\) in einem gewissen Gebiet des \(R_{2n}\) der \(n\) komplexen Veränderlichen \(x_i\), das sich an einen gegen Null laufenden, zweidimensionalen Lösungsstreifen \(x_i =f_i(t)\) von (1) anschließt, regulär, gleich \(O\left(\sum\limits_{i=1}^n|x_i|^2\right)\) und mit partiellen Ableitungen versehen, die mit \(x_i\) nach Null gehen, so gibt es genau eine Lösung \(x(t)\) von (2), die, sich an \(f_i(t)\) anschließend, mit \(\Re (t)\to-\infty\) gegen Null konvergiert. Der nur für \(n=2\) durchgeführte Beweis benutzt die aus der Methode der Variation der Konstanten hervorgehenden, dem System (2) gleichwertigen Integralgleichungen, die ähnlich wie im Reellen bei Perron (M. Z. 15 (1922), 121-146; F. d. M. 48, 505; im Text wird irrtümlich M. Z. 14 statt 15 zitiert) durch schrittweise Näherungen behandelt werden.