The Cauchy-Heaviside expansion formula and the Boltzmann-Hopkinson principle of superposition. (Q1447603)

Die Heavisidesche Lösung eines Systems von linearen Differentialgleichungen und die Boltzmann-Hopkinsonsche Formel, die die Lösung einer linearen Differentialgleichung mit beliebigem Absolutglied \(f\) aus der Lösung für den Spezialfall \(f=1\) aufbaut, folgen unmittelbar aus der von Cauchy angegebenen Methode, nach welcher aus dem Integral der homogenen Gleichung ein partikuläres Integral der inhomogenen Gleichung konstruiert werden kann. Es sei \[ D=\frac{d}{dt}, \;\varphi(D)=a_0D^n+\cdots+a_n; \] die \(a_{\nu}\) können Funktionen von \(t\) sein. Die vorgelegte Differentialgleichung laute: \[ \varphi(D)u=f(t). \] Wählt man in dem allgemeinen Integral der homogenen Gleichung \(\varphi(D) v = 0\): \[ v = C_1v_1 + \cdots +C_nv_n \] die \(C_{\nu}\) so, daß für ein beliebiges, aber festes \(\tau\) \[ v(\tau)=v'(\tau) = \cdots =v^{(n-2)}(\tau)=0,\quad v^{(n-1)}(\tau)=\frac{f(\tau)}{a_0(\tau)} \] ist, so wird mit dem so bestimmten \(v=v(t,\tau)\) nach Cauchy \[ u(t)=\int\limits_0^t v(t,\tau)d\tau \] ein partikuläres Integral der inhomogenen Gleichung. Wird \(v(t,\tau)\) für den Spezialfall: \(f(t)\) identisch gleich 1 mit \(\psi(t,\tau)\) bezeichnet, so ist für den allgemeinen Fall offenbar \[ \begin{aligned} & v(t,\tau)=f(\tau)\psi(t,\tau),\qquad\qquad \text{also:}\\ & u(t)=\int\limits_0^t f(\tau)\psi(t,\tau)d\tau. \end{aligned} \] Setzt man \[ \int\limits_{\tau}^t \psi(t,s)ds=\xi(t,\tau)\qquad\qquad (\xi(t,0) \;\text{ist die Lösung für \(f\) identisch 1}), \] so folgt durch partielle Integration: \[ u(t)=f(0)\xi(t,0)+\int\limits_0^t\xi(t,\tau)\frac{\partial f}{\partial \tau}d\tau. \] Das ist das Boltzmann-Hopkinsonsche Prinzip. Sind die Koeffizienten \(a_{\nu}\) von \(\varphi\) konstant, so läßt sich \(\xi(t, \tau)\) leicht ausrechnen: \[ \xi(t,\tau)=\frac1{\varphi(0)}+\sum_{p=1}^n \frac{e^{r_p(t-\tau)}}{r_p\varphi'(r_p)}, \] wobei die \(r_p\) die Nullstellen von \(\varphi\) sind. \(\xi(t,0)\) entspricht der Heavisideschen Lösung im Falle \textit{einer} Gleichung. Liegt ein \textit{System} von Gleichungen vor: \[ \sum_{\alpha=1}^k a_{r\alpha}x_{\alpha}=E_r(t)\qquad (r=1,\ldots,k), \] wo die \(a_{r\alpha}\) Polynome in \(D\) sind, und faßt man dieses System zunächst rein algebraisch auf, so lauten die Lösungen: \[ \varphi(D)x_s=\sum_{r=1}^k A_{rs}E_r(t), \] wobei \(\varphi\) die Determinante und \(A_{rs}\) die Adjungierte zu ars bedeutet. Sind alle \(E\) identisch Null und nur \(E_p(t)\) identisch 1, so gilt \[ \varphi(D)x_{sp} = A_{ps}(1) \] (\(x_{sp}\) statt \(x_s\), da jetzt noch von \(p\) abhängig). Sind ferner die Koeffizienten der \(a\) konstant, so sind \(\varphi\) und \(A_{ps}\) vertauschbar; ist also \(y_p\) eine Lösung von \[ \varphi(D)y_p = 1, \] \hskip 15mm so ist \[ x_{sp} = A_{ps} y_p \] eine Lösung von \(\varphi(D) x_{sp} = A_{sp}(1)\). Nun ist aber (s. o.) \[ y_p(t)=\frac1{\varphi(0)}+\sum_{\alpha=1}^n\frac{e^{r_{\alpha}t}} {r_{\alpha}\varphi'(r_{\alpha})}. \] \hskip 15mm also: \[ x_{sp}=\frac{A_{ps}(0)}{\varphi(0)}+ \sum_{\alpha=1}^{n} \frac{A_{ps}(r_{\alpha})e^{r_{\alpha} t}}{r_{\alpha}\varphi'(r_{\alpha})}. \] Das ist die Heavisidesche Formel. Der Fall eines beliebigen \(E_p(t)\) erledigt sich durch das Boltzmann-Hopkinsonsche Prinzip; die Lösung für beliebige \(E_r\) ergibt sich durch Superposition. (Siehe auch Abschn. IV. Kap. 7.)