Sur les équations differentielles linéaires à coefficients presque-périodiques. (Q1447608)

Es handelt sich um ein von Bohr (für \textit{quasi}-periodische Funktionen) angeschnittenes Problem: Ein System von Differentialgleichungen \[ \frac{dx}{dt}=p_{\nu 1}(t)x_1+\cdots+p_{\nu n}(t)x_n+f_{\nu}(t)\quad (\nu=1,2,\ldots,n) \tag{1} \] mit fastperiodischen Koeffizienten \(p_{\nu\mu}(t)\) und \(f_{\nu}(t)\) besitze ein Lösungssystem \(\{x_1(t),\ldots,x_n(t)\}\), für welches alle \(x_{\nu}(t)\) beschränkt sind. Unter welchen Bedingungen für das System (1) sind alle \(x_{\nu}(t)\) fastperiodisch? -- Eine hinreichende Bedingung lautet, daß für das homogene System \[ \frac{dx_{\nu}}{dt}=p_{\nu 1}(t)x_1+\cdots+p_{\nu n}(t)x_n \qquad (\nu=1,2,\ldots,n) \tag{2} \] und für eine ganze Klasse von homogenen Systemen, die mit (2) verwandt sind, kein einziges Lösungssystem vorhanden ist, daß aus lauter beschränkten ``Komponenten'' \(x_{\nu}(t)\) besteht. Eine ähnliche Bedingung besteht dafür, daß unter den ``beschränkten'' Lösungssystemen von (1) mindestens ein ``fastperiodisches'' vorkommt. Weiterhin gibt der Verfasser eine interessante, wenn auch nicht vollständige, Diskussion der Gleichung \[ \frac{d^2x}{dt^2}=\varphi(t)x+\psi(t) \] für fastperiodische \(\varphi(t)\) und \(\psi(t)\).