Complementi al teorema di reduzione dei sistemi differenziali ortogonali. (Q1447628)

Es wird der folgende Satz bewiesen: Besitzt das Differentialsystem \[ z^\prime_i + \sum_{k=1}^n p_{ik}z_k = 0 \quad (i = 1, \ldots, n) \tag{1} \] ein definit-quadratisches Integral: \[ I = \sum g_{ik}z_iz_k > 0, \tag{2} \] so läßt es sich auf die kanonische Form \[ \eta^\prime_i + q_{i-1}\eta_{i-1} - q_i\eta_{i+1} = 0, \quad q_0 = q_n = 0 \tag{3} \] reduzieren, wobei die \(q_m\) sich durch Rekursion finden lassen. Nach Darboux läßt sich (1) auf die Form \[ y^\prime_i + \sum r_{ik}y_k = 0, \quad r_{ik} + r_{ki} = 0, \tag{4} \] mit dem Integral \(\sum y^2_i = \operatorname{const}\) bringen. Faßt man die linke Seite von (4) als Vektoroperation auf, so ist der Beweis für (3) im \(R_m\) geometrisch leicht zu erbringen. Die Transformationsformeln werden explicite angegeben; beim Rekursionsverfahren tritt ein willkürlicher Ausgangsvektor auf. Der Reduktionssatz gilt, wie in der zweiten Note gezeigt wird, auch dann, wenn der Ausgangsvektor als gegeben angesehen wird. Die einzige Besonderheit, die alsdann auftreten kann, ist die, daß eines der \(q_m\) gleich Null wird, das reduzierte System sich also in mehrere der Form (3) spaltet.