Some general problems of the theory of ordinary linear differential equations and expansion of an arbitrary function in series of fundamental functions. (Q1447652)

Die Arbeit gibt eine verkürzte Darstellung und eine Verallgemeinerung einer 1917 in russischer Sprache erschienenen Untersuchung. Verf. geht von einer linearen Differentialgleichung \[ y^n + P_1 (x, \varrho)y^{(n-1)} + \cdots + P_n (x, \varrho)y = 0 \] mit \[ P_i(x,\varrho) = \varrho^i\sum^i_{j=0}\varrho^{-j}p_{ij}(x) \] und \(n\) Randbedingungen der Form \[ L_i(y)= \sum^n_{k=1}\sum^\infty_{\nu=1}\gamma^{(\nu)}_{ik}y^{k-1}\bigl( t^{(\nu)}_{ik}\bigr)+\int\limits_a^by^{(n-1)}(t)d\gamma_i(t) \] aus. Dabei bedeuten die \(\gamma^{(\nu)}_{ik}\) Konstanten, die \(\gamma_i(t)\) auf dem Intervall \( < a, b >\) stetige Funktionen von beschränkter Variation, die \(t^{(\nu)}_{ik}\) Punkte des Intervalls \(< a, b >\). In der vorliegenden Arbeit selbst werden die Integrale weggelassen. Mittels der asymptotischen Darstellung der Greenschen Funktion für große Werte von \(| \varrho |\) wird unter Zuhilfenahme des Cauchyschen Residuensatzes die Partialbruchzerlegung der Greenschen Funktion und die Entwicklung quellenmäßig darstellbarer Funktionen nach den Eigenfunktionen gewonnen. Dann leitet Verf. auf Grund des Cauchyschen Satzes das ``equiconvergence theorem'' ab. Dieses gestattet, die Entwicklungen einer willkürlichen Funktion nach den Eigenfunktionen verschiedener Probleme zu vergleichen. Auf Grund dieses Theorems kann man die Entwickelbarkeit von Funktionen, die in der Umgebung der betrachteten Stelle von beschränkter Schwankung sind, in sehr allgemeinen Fällen beweisen.