Functions expansible in series. (Q1447662)

Verf. knüpft an den von J. W. Hopkins (Transactions A. M. S. 20 (1919), 245-259; F. d. M. 47. 420) über die Entwicklung nach Eigenfunktionen des Randwertproblems \[ u''' +\varrho^3u = 0, \;\;u(0) = u'(0) =u(\pi ) = 0 \] bewiesenen Satz an. Auf Grund dieses Satzes läßt jede im Innern und auf dem Rand des Kreises mit dem Mittelpunkt \(x = 0\) und dem Radius \(x_0\), \(0 < x_0 < \pi\), analytische Funktion, deren Potenzreihe die Form \(x^2{\mathfrak P}(x^3)\) hat und die für reelle \(x\) im abgeschlossenen Intervall \(<0, \pi>\) eine stetige zweite Ableitung besitzt, eine nach den Eigenfunktionen des genannten Randwertproblems fortschreitende, im Innern des durch die Ecke \(x_0\) und den Schwerpunkt \(x = 0\) bestimmten gleichseitigen Dreiecks gleichmäßig konvergierende Entwicklung zu. Verf. stellt daneben das aus dem obigen durch die Transformation \(x' =\pi-x\) hervorgehende Randwertproblem \[ u''' - \varrho^3v= 0, \quad v(\pi) = v'(\pi) = v(0) = 0 \] und den zugehörigen Entwicklungssatz; er beweist, daß es Funktionen gibt, die den Voraussetzungen beider Entwicklungssätze genügen, und für die die beiden daraus resultierenden Entwicklungen ein gemeinsames Konvergenzgebiet besitzen.