A generalization of the calculus of finite differences to include the differential calculus. (Q1447696)

Bei der üblichen Behandlungsweise erscheint die Differentialrechnung als Grenzfall der Differenzenrechnung. Die Differenzenquotienten werden zunächst für voneinander verschiedene Argumente erklärt; nachträglich wird deren Zusammenrücken zugelassen und in seinen Auswirkungen durch Grenzübergang verfolgt, wobei man auf Ableitungen stößt. Verf. stellt eine Theorie auf, die Differenzen- und Differentialrechnung umfaßt, allerdings auch beide als bereits aufgebaut voraussetzt. Er denkt sich das System \(\sigma\) von \(n+1\) Argumenten \(x_i\) mit den Vielfachheiten \(k_i\)(\(i=1\), 2, \dots, \(h\); \(\sum k_i=n+1\)), bildet das Interpolationspolynom höchstens \(n\)-ten Grades, das an der Stelle \(x_i\) mit seinen Ableitungen bis zur (\(k_i-1\))-ten Ordnung vorgegebene Werte annimmt, und betrachtet die \(n\)-te Ableitung dieses Interpolationspolynoms. Sie läßt sich, wenn unter den \(x\) überhaupt zwei verschiedene vorkommen, als eine Art Differenzenquotient der beiden entsprechenden Ausdrücke schreiben, die entstehen, wenn aus \(\sigma\) die beiden verschiedenen Argumente je einmal gestrichen werden, sonst als \(n\)-te Ableitung von \(f(x)\) für das alsdann (\(n+1\))-mal auftretende Argument. Hierdurch öffnet sich der Weg für rekursorische Darstellung von Differenzenquotienten durch Funktionswerte und Ableitungen, von Interpolationspolynomen durch Interpolationspolynome niedrigeren Grades und dgl.