Über lineare Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten und fastperiodischer rechter Seite. (Q1447699)

Untersucht wird für \(-\infty<x<+\infty\) und ein reelles \(\omega\) die Differenzengleichung \[ \displaylines{\rlap{\qquad(1)} \hfill y(x+\omega)-y(x)=f(x) \hfill} \] mit fastperiodischer rechter Seite \(f(x)\), und ihre Verallgemeinerung mit komplexen Konstanten \(k_\mu\): \[ \displaylines{\rlap{\qquad(2)} \hfill \qquad\;\; y(x+m\omega)+k_1y(x+(m-1)\omega)+\cdots+ k_{m-1}\,y(x+\omega)+k_m=f(x). \hfill} \] Das durch Heranziehung des Begriffs einer ``fastperiodischen Zahlenfolge'' gewonnene Hauptergebnis lautet: Jede gleichmäßig stetige Lösung, welche beschränkt ist, ist fastperiodisch; unter gewissen Annahmen über die \(k_\nu\) ist hierbei die Voraussetzung der gleichmäßigen Stetigkeit nicht nötig. Ferner: Wenn die Fourierkoeffizienten von \(f(x)\) beschränkt sind, \(|\,\varLambda_n\,|\leqq K\), so ist für \[ |\,\omega\,|<\frac{2\pi}{K} \] die Nörlundsche Hauptlösung von (1) fastperiodisch. -- Wenn von (2) die Existenz mindestens einer fastperiodischen Lösung bekannt ist, so kann man \(alle\) fastperiodischen Lösungen von (2) explicite aufstellen.