Sur un problème toujours possible comprenant, à titre de cas particulier, le problème de Dirichlet et celui de Neumann. (Q1447789)

Verf. stellt sich die folgende Aufgabe: Bezeichnet \(D\) einen gegebenen offenen Bereich und \(V\) ein in \(D\) gegebenes Vektorfeld, setzt man voraus, daß das Integral \({\displaystyle\iiint\limits_D} V^2\,dx\,dy\,dz\) einen Sinn hat, und daß jede orthogonale Projektion des Vektors \(V\) auf die Koordinatenachsen in jedem in \(D\) gelegenen, offenen und beschränkten Bereich im Sinne von Riemann integrierbar ist, so ist eine in \(D\) harmonische Funktion \(v\) zu bestimmen, die für jeden inneren Punkt von \(D\) einen eindeutig bestimmten Gradienten mit folgenden Eigenschaften besitzt: \({\displaystyle\iiint\limits_D } (\mathop{\text{grad}}\nolimits v)^2\,dx\,dy\,dz\) hat einen Sinn; für jede harmonische Funktion \(h\), die in \(D\) ebenfalls einen eindeutig bestimmten Gradienten hat, gilt \[ \iiint\limits_D (V- \mathop{\text{grad}} v, \mathop{\text{grad}} h)\, dx\,dy\, dz = 0. \tag{1} \] Zunächst zeigt Verf. daß die Lösung dieses Problems, sofern sie existiert, bis auf eine additive Konstante bestimmt ist. Der Nachweis der Existenz der Lösung wird sukzessive geführt: Zunächst läßt sich für den Fall, daß \(D\) das Innere einer Kugel ist, die Funktion \(v\) mit Hilfe der Kugelfunktionen \(\varPi_{n,t}\) in der Form \[ \begin{gathered} v= \sum_{n=1}^\infty \sum_{t=1}^{n+1} c_{n,t}\varPi_{n,t}, \tag{2}\\ c_{n, t} = \iiint\limits_D (V, \mathop{\text{grad}} \varPi_{n, t})\, dx\, dy \, dz \tag{3} \end{gathered} \] angeben. Alsdann wird gezeigt, daß das Problem, wenn es in jedem von zwei offenen, beschränkten, im Jordanschen Sinne meßbaren Bereichen lösbar ist, auch in deren Vereinigungsmenge eine Lösung besitzt. Schließlich wird die Lösbarkeit des Problems für jeden Bereich \(D\) von folgender Beschaffenheit bewiesen: Es läßt sich eine Folge von offenen, beschränkten, im Jordanschen Sinne meßbaren Bereichen \(D_1\), \(D_2\), \(\ldots\) so angeben, daß jedes \(D_n\) in \(D_{n+1}\), jede im Innern von \(D\) gelegene, abgeschlossene beschränkte Punktmenge \(D'\) in einem \(D_m\) enthalten, und daß das Problem in jedem \(D_n\) lösbar ist. Die Tragweite des bewiesenen Theorems erkennt man aus der Anwendung auf das Neumannsche Problem, dessen Lösung man unter der Annahme \(\mathop{\text{div}} V = 0\) und unter gewissen Regularitätsbedingungen für \(D\) erhält. Damit gelingt dem Verf. der Nachweis der Lösbarkeit des Neumannschen Problems, wenn die Begrenzung des Bereiches Kanten und Ecken aufweist, also in einem Falle, der den bisherigen Methoden verschlossen blieb. Die Betrachtungen lassen sich vom dreidimensionalen auf den \(n\)-dimensionalen Euklidischen Raum übertragen.