Sur un problème mixte pour les fonctions harmoniques. (Q1447795)

Fragen der Hydrodynamik führen auf die Aufgabe, im Streifen \(0 \leqq y \leqq 1\) eine harmonische Funktion \(U (x, y)\) bei den Randbedingungen \[ U (x, 0) = 0 \qquad\qquad\qquad (2)\qquad \frac{\partial U(x,1)}{\partial y} =pU(x,1) \qquad(p=\text{const}) \tag{1} \] zu bestimmen. Verf. zeigt durch Anwendung der Greenschen Formel, daß die Aufgabe nur die identisch verschwindende Lösung besitzt, wenn weiterhin verlangt wird: \[ \begin{aligned} &U(x,y)\to0\quad\text{und}\quad \frac{\partial U(x, y)}{\partial x}\to 0, \quad\text{wenn}\quad x\to\pm\infty. \tag{3}\\ &U (x, 1)\quad\text{hat nur endlich viele Maxima und Minima.} \tag{4} \end{aligned} \] Im Fall \(- \infty < p < 1\) kann (4) durch die Forderung der Konvergenz von \({\displaystyle\int\limits_{-\infty}^\infty} U^2 (x)\, dx\) ersetzt werden. Sodann wird mit Hilfe einer von Hamel eingeführten Greenschen Funktion gezeigt, daß lediglich unter den Annahmen (1) und (2) beschränkte, nicht identisch verschwindende Lösungen nur für \(- 1 < p < 1\) existieren. Diese genügen für \(y = 1\) einer singulären Integralgleichung. Daß bei beliebigem \(p\) nicht beschränkte Lösungen existieren, wird durch ein Beispiel dargetan.