Les problèmes aux limites relatifs à deux sphères. (Q1447800)

Die üblichen Methoden zur Lösung der Potentialaufgabe im Äußeren \(A\) zweier Kugeln beruhen darauf, daß eine räumliche Potentialfunktion durch eine Inversion und eine Multiplikation mit einem bestimmten Faktor wieder in eine Potentialfunktion übergeht. Im Anschluß an Lord Kelvin hat Darboux (1907; F. d. M. 38, 771 (JFM 38.0771.*)) dieses Prinzip angewendet und \(A\) mit Hilfe von unendlich vielen Inversionen auf ein von zwei konzentrischen Kugeln berandetes Gebiet \(G\) verpflanzt. Verf. erreicht dasselbe Resultat durch eine einzige Transformation: Es seien \(x\), \(y\) rechtwinklige Koordinaten in einer Ebene, \(\xi\), \(\eta\) in einer anderen, \(z = x + iy\), \(Z =\xi+ i\eta\) seien komplexe Variable. Die Transformation \[ Z = \frac{sz-a}{sa-z}\qquad (a\;\text{und}\;s\;\text{konstant}) \tag{1} \] setzt sich aus zwei Inversionen \[ z_1=\frac{a(1-s^{-2})}{z-as^{-1}}\,, \quad Z=\frac1{z_1-s^{-1}} \tag{2} \] zusammen und bildet das Äußere zweier Kreise auf ein von zwei konzentrischen Kreisen berandetes Gebiet ab. Bedeuten \(\xi\), \(\eta\), \(\omega\) \(\left(\omega = \mathop{\text{arctg}}\nolimits \dfrac\zeta\eta\right)\) bezw. \(x\), \(y\), \(\omega'\) Raumkoordinaten, so ist die aus der harmonischen Funktion \(\varphi (x, y, \omega')\) hervorgehende Funktion \[ \varphi_1=\frac{\varPhi(\xi,\eta,\omega)}{\sqrt{(s+Z)(s+\overline Z)}} \tag{3} \] wieder harmonisch. Dabei bedeutet \(\varPhi(\xi, \eta, \omega)\) die durch (1) aus \(\varphi(x,y,\omega')\) entstandene Funktion. Mit Hilfe dieser Transformation gelingt es Verf., \(A\) auf \(G\) abzubilden und das Dirichletsche und das Neumannsche Problem für \(A\) zu lösen. Anschließend werden die erhaltenen Resultate auf die folgenden physikalischen Fragen angewendet: Die Verteilung der Elektrizität auf zwei Kugeloberflächen. Das thermische Gleichgewicht eines von zwei exzentrischen Kugeln berandeten Gebiets. Die Bewegung zweier Kugeln in einer unbegrenzten, inkompressiblen, idealen Flüssigkeit. Die Schwingungen zweier Kugeln in derselben Flüssigkeit (Problem von Bjerknes). (VI 4 B.)