Coefficient estimates in plane and spatial harmonic expansions. (Q1447811)

Wird eine im Einheitskreis harmonische Funktion \(u\) nach Kreisfunktionen entwickelt, so gelten bei \(u > 0\) für die einzelnen Glieder dieser Entwicklung sowie für die Abschnitte gewisse Abschätzungen ([\textit{C. Carathéodory}, Math. Ann. 64, 95--115 (1907; JFM 38.0448.01); Rend. Circ. Mat. Palermo 32, 193--217 (1911; JFM 42.0429.01); \textit{O. Toeplitz}, Rend. Circ. Mat. Palermo 32, 191--192 (1911; JFM 42.0428.02)]; u. a.). Diese Resultate werden in der vorliegenden Arbeit wiedergewonnen durch eine neue Methode, die den Vorzug besitzt, sich auf das dreidimensionale Problem übertragen zu lassen, d. h. Abschätzungen zu geben für die Abschnitte der Entwicklung einer in der Einheitskugel positiv-harmonischen Funktion \(U(x, y, z) \) nach Kugelfunktionen. U. a. ergibt sich in Verallgemeinerung eines auf ebene harmonische Funktionen bezüglichen Resultats von \textit{I. Schur} [Arch. der Math. u. Phys. (3) 27, 126--135 (1918; JFM 46.0478.01)], daß in der Kugel \[ x^2 + y^2 + z^2 < \left(\frac13\right)^2 \] sämtliche Abschnitte positiv sind (\(U (0, 0, 0) = 1\)). Die obigen Abschätzungen für die Abschnitte werden noch verschärft unter der Annahme, daß die Funktion \(U\) ein harmonisches Polynom \(n\)-ten Grades ist (im zweidimensionalen Fall durch Fejér gegeben). Die Methode der Arbeit, die vor allem auf einer glücklichen Kombination von Maximumprinzip und Poissonscher Integraldarstellung beruht, tritt in den beiden ersten Paragraphen deutlich hervor.