On the degree of approximation to a harmonic function. (Q1447814)

\(\mathfrak C\) sei eine geschlossene Jordankurve in der \((x, y)\)-Ebene, \(z = x + iy\). \(w = \varPhi (z)\) bilde das Äußere von \(\mathfrak C\), schlicht auf \(|w| > 1\) so ab, daß die Punkte \(z =\infty\) und \(w = \infty\) einander entsprechen; das Bild von \(|w|= r\), \(r > 1\), bei dieser Abbildung werde mit \(\mathfrak C_r\) bezeichnet. Verf. beweist den folgenden Satz: Eine im Innern von \(\mathfrak C\) und auf \(\mathfrak C\) definierte Funktion \(u (x, y)\) ist daselbst dann und nur dann harmonisch, wenn sich eine Folge von harmonischen Polynomen \(p_n(x)\) so angeben läßt, daß \[ | u (x, y) - p_n (x, y)| \leqq\frac M{R^n} \] für von \(n\) unabhängige Zahlen \(M > 0\), \(R > 1\) im Innern von \(\mathfrak C\) und auf \(\mathfrak C\) gültig ist. Die Folge \(p_n (x, y)\) konvergiert gleichmäßig in jeder abgeschlossenen Teilmenge des Innern von \(\mathfrak C_R\); \(u (x, y)\) ist also in \(\mathfrak C_R\) harmonisch fortsetzbar.