Mathematical notes (6): On the definition of a subharmonic function. (Q1447816)

Eine Funktion \(w (x, y)\) wird nach F. Riesz in einem Bereiche \(D\) subharmonisch genannt, wenn sie in jedem Punkte von \(D\) von oben halbstetig ist, und wenn in jedem Punkte \((x, y)\) innerhalb von \(D\) und für alle hinreichend kleinen positiven Werte \(r\) die Beziehung \[ w(x,y)\leqq \frac1{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi w(x +r\cos\vartheta, y+r\sin\vartheta)\,d\vartheta \tag{1} \] besteht. Verf. beweist, daß die so definierte Funktionenklasse mit der Klasse der in \(D\) von oben halbstetigen Funktionen zusammenfällt, welche einer der Bedingungen (2), (3), (4) genügen: In jedem Punkte \((x, y)\) innerhalb von \(D\) gilt \[ \begin{aligned} &w (x,y)\leqq\frac1{\pi r^2} \int\limits_{-\pi}^\pi d\vartheta \int\limits_0^r w(x + \varrho \cos \vartheta, y + \varrho \sin \vartheta) \varrho\, d\varrho \tag{2}\cr \noalign{\hbox to{\hss f\"ur hinreichend kleine positive \(r\),\hss}} &w (x, y) \leqq\frac1{2\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi w(x + r \cos \vartheta, y + r \sin y)\, d\vartheta, \tag{3}\cr \noalign{\hbox to{\hss wenn \(r\to0\) und positiv,\hss}} &w (x, w) \leqq\frac1{\pi r^2} \int\limits_{-\pi}^\pi d\vartheta \int\limits_0^r w(x + \varrho \cos \vartheta, y + \varrho \sin \vartheta) \varrho\,d\varrho, \tag{4}\cr \noalign{\hbox to{\hss wenn \(r\to0\) und positiv.\hss}} \end{aligned} \] Hierbei wird unter einer von oben halbstetigen Funktion die Grenzfunktion einer abnehmenden Folge von stetigen Funktionen verstanden.