Mathematical notes (7): On functions subharmonic in a cerde. (Q1447817)

Ist \(w (\varrho, \vartheta)\) eine für \( | \varrho e^{i\vartheta}| < 1\) harmonische Funktion von \(\varrho\) und \(\vartheta\), die der Bedingung \[ \frac1{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi |w (\varrho, \vartheta)|^p\, d\vartheta \leqq G^p\qquad (\varrho < 1,\;G > 0,\;p > 1) \tag{1} \] genügt, dann konvergiert sie, wenn \(\varrho\to1\), bekanntlich für fast alle \(\vartheta\) gegen eine Grenzfunktion \(W(\vartheta)\), und zwar ``konvergiert sie stark gegen \(W (\vartheta)\) in bezug auf den Exponenten \(p\)'', d. h: \[ \int\limits_{-\pi}^\pi | w(\varrho,\vartheta)-W(\vartheta)|^p \,d\vartheta \to 0,\quad \text{wenn}\quad \varrho \to 1. \tag{2} \] Verf. beweist nun in der vorliegenden Note: Zu einer in \(| \varrho e^{i\vartheta} | < 1\) stetigen, subharmonischen, der Bedingung (1) genügenden Funktion \(w(\varrho,\vartheta)\) läßt sich eine Funktion \(W (\vartheta)\) so angeben, daß \(w (\varrho, \vartheta)\) für \(\varrho\to 1\) in bezug auf den Exponenten \(q\) stark gegen \(W (\vartheta)\) konvergiert, wenn \(q < p\) ist. Die Frage, ob die starke Konvergenz auch für \(q = p\) stattfindet, wird offen gelassen.