Über das Anfangswertproblem bei einer hyperbolischen nichtlinearen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit zwei unabhängigen Veränderlichen. (Q1447850)

In dieser Arbeit wird das Anfangswertproblem für eine hyperbolische Differentialgleichung \[ F (x, y, u, p, q, r, s, t) = 0,\quad F_s^2-4F_rF_t > 0 \] zweiter Ordnung in zwei unabhängigen Variablen \(x\), \(y\) -- \(u\), \(p\), \(q\) sind auf einer ``nichtcharakteristischen'' Anfangskurve vorgeschrieben - mit der Methode des Grenzübergangs von Differenzen- zu Differentialgleichungen behandelt. Mit Hilfe dieser Methode werden zuerst, unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen, die beiden Systeme von charakteristischen Differentialgleichungen (erster Ordnung) gelöst. Aus diesem überbestimmten System partieller Differentialgleichungen werden gewisse Gleichungen als Folgen der übrigen ausgesondert, und vom restlichen System zeigt sich, daß es zur vollständigen Lösung des Anfangswertproblems von \(F = 0\) führt. Die leichte Durchführbarkeit der Differenzengleichungsmethode liegt hauptsächlich in dem Umstände begründet, daß die charakteristischen Differentialgleichungen ``quasilinear'', die zugehörigen Differenzengleichungen somit linear in den Differenzenquotienten der unbekannten Funktionen ausfallen. So ergibt sich auch ohne Mühe der Eindeutigkeitsbeweis für die Lösung des Anfangswertproblems. Schließlich ergibt sich noch das allgemeine Resultat, daß der Wert der Lösung des Anfangswertproblems in einem Punkte \(P\) nur den Anfangswerten eines Teiles der Anfangskurve abhängt; dieser Teil bestimmt sich als das von den beiden von \(P\) ausgehenden Charakteristiken aus der Anfangskurve ausgeschnittene Stück. (Siehe Abschn. IV, Kap. 11.)