Über den analytischen Charakter der Lösungen elliptischer Differentialgleichungen. (Q1447851)

In der Differentialgleichung \(\varDelta u = f (x, y, u, u_x, u_y)\) ist jede viermal differenzierbare Lösung analytisch, wenn \(f\) analytisch ist. Für diesen Satz, der freilich auch bei geringeren Voraussetzungen über die Lösung richtig bleibt, wird hier ein neuer Beweis erbracht, der einfacher ist, als der Beweis von S. Bernstein, auch in der von Radó vereinfachten Gestalt (M. Z. 25 (1926), 514-589; F. d. M. 52). Die Idee besteht darin, eine für reelle \(x\), \(y\) gegebene Lösung in eine \((x,y_2)\)-Ebene fortzusetzen, indem \(x\) reell belassen, \(y =y_1+iy_2\) gesetzt und \(y_1\) als Parameter angesehen wird. Die analytische Fortsetzung verlangt, die Lösung so zu bestimmen, daß sie für \(y_2 = 0\) in die vorgegebenen Anfangswerte \(u (x, y)\) übergeht; es liegt ein hyperbolisches Anfangswertproblem vor, wie es von Verf. in der vorstehend referierten Arbeit behandelt worden ist. (IV 13.)