Über die Eikonalgleichung in allgemein anisotropen Medien. (Q1447882)

Bekanntlich hat Carathéodory in der Variationsrechnung Betrachtungen angestellt, durch welche die Hamiltonsche Differentialgleichung als etwas Primäres eingeführt wird, ohne daß man nötig hätte, die erste Variation zu bilden oder dergl. (vgl. etwa die Darstellung von Carathéodory in Riemann-Weber Bd. I, 1925). Verf. weist nun darauf hin, daß diese Methode eine physikalische Deutung zuläßt, wenn man in dem Variationsproblem \[ \int\limits_{x_0}^x L (x,\dot x)\, ds = \text{Minimum} \tag{1} \] die positive Funktion \(L\) als Brechungsindex eines optisch anisotropen Mediums auffaßt. Alsdann gibt \[ v=\frac1{L(x,\dot x)} \tag{2} \] die Strahlengeschwindigkeit \(v\) als Funktion des Ortes und der Richtungen; für die Wellengeschwindigkeit \(w\), mit der eine Phasenfläche \(S (x) - t = \text{const.}\) sich fortschiebt, ergibt sich: \[ w = v \cos (v, n), \tag{3} \] wobei \(n\) die Normale der Phasenfläche bedeutet. Ersetzt man nun das Variationsproblem (1) durch die Forderung, \(w\) solle möglichst groß sein, so kommt man in wörtlicher Anlehnung an Carathéodorys Ausführungen zur Hamiltonschen Differentialgleichung für \(S (x)\). (V 8.)