Sur un cas généralisé de la probabilité des épreuves répétées. (Q1447919)

Eine Urne enthalte \(m\) Kugeln, von denen \(b_i\) mit der Nummer \(i\) (\(i = 1\), 2,\dots, \(k + 1\)) bezeichnet sind. Es wird \(n\)-mal je eine Kugel aus der Urne gezogen; nach jedem Griff werden \(h + 1\) Kugeln der betreffenden Nummer in die Urne zurückgelegt. Der Fall \(h= 0\) entspricht dem Bernoullischen Schema, \(h = -1\) den Ziehungen ohne Rücklage. Die totale Wahrscheinlichkeit, eine Kugel mit der Nummer \(i\) zu ziehen, unabhängig davon, welche Kugeln vorher gezogen wurden, beträgt \(\dfrac {b_i}m\). Die erzeugende Funktion für die Wahrscheinlichkeit, \(\nu_i\)-mal die Nummer \(i\) zu ziehen, führt für beliebiges \(k\) nach Lauricella auf den Quotienten zweier hypergeometrischer Reihen; die Fälle \(k = 1\) und \(k = 2\) sind von Gauß bzw. Appell behandelt worden. Mit Hilfe der faktoriellen Momente wild die Streuung bestimmt. Es ergibt sich \[ \sigma_i^2\gtrless\sigma_{iB}^2,\text{ je nachdem } h \gtrless 0, \] wobei \(\sigma_{iB}^2\) die Bernoullische Streuung bedeutet. Aus \(k\) faktoriellen Momenten erster und zwei Momenten zweiter Ordnung lassen sich die Verteilungskonstanten berechnen, also gegebene Beobachtungen auf dieses Schema reduzieren. Umgekehrt wird aus gegebenen Ziehungsresultaten mit Hilfe des Bayes'schen Schemas auf das zugrundeliegende Füllungssystem geschlossen.