On an asymptotic expansion occuring in the theory of probability. (Q1447925)

Es sei \(F(x)\) eine nicht abnehmende Funktion der reellen Veränderlichen \(x\) von der Eigenschaft \(F(-\infty) = 0\), \(F(+\infty) = 1\). Es werde vorausgesetzt, daß die Momente \[ \alpha_\mu = \int_{-\infty}^{+\infty} x^\mu dF(x),\quad \beta_\mu = \int_{-\infty}^{+\infty} |x|^\mu dF(x) \] \[ für \(\mu = 1, 2,\dots,k\); \(k\geqq 2\) existieren; es sei \(\alpha_1 = 0\), \(\alpha_2 = \beta_2 = 1\). Man bilde zwei Folgen von Funktionen \] F_1(x) = F(x),\dots,F_n(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} F_{n-1}(x-t)\,dF(x) \[ und \(G_1(x),\dots,G_n(x),\dots\), derart, daß \] G_n(x) = F_n \left(x\sqrt n\right) \[ ist. Setzt man \] \Phi(x) = \frac1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{t^2}2}dt, \[ so wird durch \(G_n(x)\to\Phi(x)\) das sogenannte ``Gesetz der großen Zahlen'' ausgedrückt. \par Ist F (x) eine nicht abnehmende Funktion von x, so ist es möglich, \] F(x) = U(x) + V(x) \[ zu setzen, wobei \(U\) und \(V\) nicht abnehmende, nicht negative Funktionen sind derart, daß \(U\) ein unbestimmtes Integral ist, während \(V\) fast überall die Ableitung Null besitzt. Setzt man ferner voraus, daß \(U\) nicht identisch Null ist, so gilt für \(k > 2\) und \(\varepsilon > 0\) gleichmäßig für alle \(x\) \] G_n(x) = \Phi(x) + \sum_{\nu=1}^{k-3} \frac{p_{3\nu-1}(x)}{n^{\frac\nu2}}\, e^{-\frac{x^2}2} + O\left(n^{-\frac{k-2}2+\varepsilon}\right). \[ Dabei bedeutet \(p_{3\nu-1}(x)\) ein Polynom vom Grade \(3 \nu-1\) in \(x\), dessen Koeffizienten lediglich von den Momenten \(\alpha_3\),\dots, \(\alpha_{\nu+2}\) abhängen. Man kann durch Beispiele für \(k > 3\) zeigen, daß diese Aussage nicht zutrifft, wenn \(U\) identisch Null ist. \]