On Poisson's and Lexis' problem of probability of repeated trials. (Q1447935)

enn \(\psi (m, x)\) das Gesetz der kleinen Zahlen ist, so sind die Polynome \(\dfrac1\psi\dfrac{d^k\psi}{dm^k}\) orthogonal. Die Koeffizienten in der durch diese Polynome gebildeten Charlierschen Reihe werden durch die faktoriellen Momente ausgedrückt. Bei der Poissonschen Wahrscheinlichkeit \(P (x)\) dafür, daß ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit in der \(\nu\)-ten Serie \(p_\nu\) beträgt, insgesamt \(x\)-mal auftrete, sind die faktoriellen Momente gleich den entsprechenden Differentialquotienten der erzeugenden Funktion. Auf diese Weise erhält man die Entwicklung der Poissonschen Wahrscheinlichkeit und ihrer Summe in eine Charliersche Reihe. Die Resultate werden spezialisiert für den Fall, daß die Wahrscheinlichkeit bei jedem Versuch die gleiche ist, und daß es gleichwahrscheinlich ist, daß sie gleich einem \(p_\nu\) ist.