Über eine Aufgabe von R. A. Fisher. (Q1447950)

Verf. behandelt die folgende Aufgabe, die ihm von R. A. Fisher vorgelegt worden ist: In dem Ausdruck \[ x=\sum\limits_{i=1}^\infty \xi_i \] nimmt jedes \(\xi_i\) den Wert \(\dfrac{n}{2^i}\) (\(n = 0, 1, 2, 3,\ldots\)) mit der Wahrscheinlichkeit \[ p_n=\frac{e^{-1}}{n!} \] an. Für die Verteilungsfunktion \(f(x)\) der Größe \(x\) leitet Verf. die folgende Formel her: \[ f(x) = e^{-x}\sum\limits_{n=0}^\infty A_nL_n(x). \] Darin bedeutet \(L_n(x)\) ein Laguerresches Polynom; es ist \[ \begin{gathered} A_n=\frac{1}{(n!)^2}\cdot\frac{d^n}{dt^n}\left\{\frac{1}{1-t} e^{\tau\left(-\dfrac{t}{1+t}\right)}\right\}, \\ \tau (t) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n!}\frac{t^n}{2^n - 1} \end{gathered} \] und \[ e^{\tau\left(-\dfrac{t}{1+t}\right)} \] die erzeugende Funktion der Momente von \(x\).