Lines and planes of closest fit. (Q1447962)

Es soll eine lineare Beziehung zwischen \(n\) statistischen, zufällig variierenden, aber verschieden genau gemessenen Variablen \(x_\nu\), welche auf Maßstäbe \(u_\nu\) reduziert werden sollen, hergestellt werden. Die Multiplikatoren \(l_\nu\), für welche \(\sum l^2_\nu = 1\) ist, und das konstante Glied \(p\) werden gesucht. Der mittlere Fehler von \(\dfrac{x_\nu}{u_\nu}\) sei \(s_\nu\), der von \(x_\nu\) sei \(\sigma_\nu\). Die Forderung, daß \[ \frac{\sum\left(l_\nu\dfrac{x_\nu}{u_\nu} p\right)^2}{\sum l^2_\nu s^2_\nu} \] ein Minimum sei, führt auf die Bestimmung von \(p = \sum\dfrac{l_\nu\overline{x}_\nu}{u_\nu}\) und die der \(l_\nu\) durch Auflösung einer Determinante \(n\)-ten Grades, in der noch immer die \(u_\nu\) und \(s_\nu\) vorkommen. Falls alle mittleren Fehler \(s_\nu\) einander gleich und alle \(u_\nu\) gleich den mittleren Fehlern \(\sigma_\nu\) sind, wird der Koeffizient für \(l_\nu\) in der \(\varkappa\)-ten Zeile gleich dem Korrelationskoeffizienten \(r_{\nu\varkappa}\), und das diagonale Glied wird \(2\sum l_\varkappa l_\lambda r_{\varkappa\lambda}\). Im Fall \(n = 2\) tritt der Korrelationskoeffizient nicht selbst in der Gleichung auf. Er bestimmt nur, ob die reduzierten Variablen \(\dfrac{x_\nu - \overline{x}_\nu}{\sigma_\nu}\) addiert oder subtrahiert werden. Bei fehlender Korrelation wird das Problem unbestimmt.