La trigonométrie sphérique et les voies nouvelles dans l'astronomie mathématique. (Q1448126)

Ein von n Bogen größter Kreise gebildetes Polygon auf der Kugel habe die Seiten \(a_i\). Die Winkel seien so gezählt, daß \(z\). B. die Verlängerung von \(a_1\) über den Schnittpunkt mit der folgenden Seite \(a_2\), hinaus mit dieser den Winkel \(\alpha_1\) einschließt. In einem Koordinatensystem, dessen Anfangspunkt mit dem Kugelzentrum, dessen \((x, y)\)-Ebene mit der Ebene des größten Kreises \(a_1\)zusammenfällt, so zwar, daß die \(x\)-Achse nach dem Anfangspunkte von \(a_1\) weist, habe ein Punkt \(P\) die Koordinaten \(x, y, z\). Sie mögen in \(x^\prime_1, y^\prime_1, z^\prime_1\) übergehen, wenn durch eine Drehung um die \(z\)-Achse die \(x\)-Achse in die Richtung nach dem Anfangspunkt von \(a_2\) gebracht wird. Das Ergebnis der Transformation wird symbolisch durch \[ \{x^\prime_1y^\prime_1z^\prime_1\} = \{xyz\} r(a_1) \] ausgedrückt. Eine Drehung um die \(x'\)-Achse bringe die \((x', y')\)-Ebene in die Ebene von \(a_2\). Diese zweite Transformation wird wieder symbolisch durch \[ \{x_1'' y_1'' z_1''\} = \{x^\prime_1y^\prime_1z^\prime_1\} p(\alpha_1) = \{xyz\} r(a_1) p(\alpha_1) \] bezeichnet. Setzt man diese Transformationen paarweise fort, bis alle Elemente des Polygons ausgeschöpft sind, so wird ersichtlich \[ \{xyz\} = \{xyz\} r(a_1) p(\alpha_1) r(a_2) p(\alpha_2) \cdots r(a_n) p(\alpha_n). \] Dabei ist notwendig \[ r(a_i)r(-a_i)=1 \] und entsprechend für \(p(\alpha)\), eine Beziehung, die eine beliebige Anzahl der symbolischen Faktoren von der einen Seite auf die andere zu bringen erlaubt. Diesen Symbolen wird nun eine bestimmte Schreibweise in Matrizenform -- zum Unterschiede von den üblichen Matrizen durch \(\{\}\) gekennzeichnet -- zugeordnet, die in Verbindung mit einer einfachen Rechenvorschrift, kolonnenweiser Multiplikation, die Transformationsformeln für rechtwinklige Koordinaten abzulesen gestattet. Sie erhalten so die Bedeutung von Transformationsoperatoren, die symbolische Schreibweise selbst den Charakter einer Formel, die z. B. in Anwendung auf das sphärische Dreieck sämtliche Grundformeln einschließlich derjenigen für das Polardreieck in sich begreift. Die weiteren Auseinandersetzungen sollen die Vorzüge der neuen Formeln gegenüber der in der Astronomie üblichen Zerlegung der Polygone in sphärische Dreiecke namentlich für die Zwecke des maschinellen Rechnens ins Licht setzen.