Axiomatische Untersuchung des Aussagen-Kalküls der ``Principia Mathematica''. (Q1448546)

\textit{Whitehead-Russell}s ``Principia Mathematica'' sind auf folgenden fünf Grundformeln aufgebaut, aus denen sich jede allgemeingültige Formel durch Einsetzen und Anwenden der formalen Schlußregel \(A > B\) gewinnen läßt (Implikation bzw. Disjunktion werden durch \(>\) bzw. \(\vee\) dargestellt): \[ \begin{aligned} &(p\vee p)>p\,;\\ &q>(p\vee q);\\ &(p\vee q)>(q\vee p);\\ &[p\vee(q\vee r)]>[q\vee(p\vee r)];\\ &(q>r)>[(p\vee q)>(p\vee r)]. \end{aligned} Im ersten Teil der Arbeit zeigt Verf., daß man dabei mit vier geeignet gewählten von diesen oder gewissen äquivalenten Axiomen auskommt, und gewinnt damit vier aus je vier Grundformeln bestehende vollständige Axiomensysteme, deren Unabhängigkeit im 2. Teil der Arbeit nachgewiesen wird. Die Unabhängigkeitsbeweise beruhen auf der Konstruktion von Gruppen aus wenigen Elementen, für die drei Formeln des fraglichen Systems ``richtig'', die vier nicht ableitbar sind. Dabei ist die Richtigkeit einer Aussagenformel notwendigerweise so definiert, daß sie bei Anwendung der erlaubten Regeln --- Einsetzen und formale Schlußregel --- erhalten bleibt. Das erfordert das Erfülltsein einer besonderen Bedingung, das für jede Gruppe besonders festgestellt wird. Englische Übersetzung der Arbeit s. Zbl 1288.03008.