Über Potenzreihen von Matrizen. (Q1448795)

Betrachtet man eine beliebige Potenzreihe \[ \mathfrak P(T)=a_0+a_1T+a_2T^2+\cdots \] mit beliebigen komplexen Koeffizienten \(a_\nu\), deren Argument \(T\) eine variable Matrix \(n\)-ten Grades ist, so erhebt sich die Frage, für welche Matrizen \(A\) dieses Grades die Reihe \(\mathfrak P(A)\) konvergiert. Verf. beantwortet diese Frage mit folgendem allgemeinem Satze: Eine Potenzreihe \(\mathfrak P(T)\) divergiert für \(T=A\), wenn auch nur eine der charakteristischen Wurzeln von \(A\) außerhalb des Konvergenzkreises \(\mathfrak K_\varrho\) der Potenzreihe \(\mathfrak P(z)\) liegt, sie konvergiert stets, wenn alle charakteristischen Wurzeln im Innern von \(\mathfrak K_\varrho\) liegen. Für jede Wurzel \(\alpha\), die auf der Peripherie von \(\mathfrak K_\varrho\) liegt, muß die Potenzreihe \(\mathfrak P^{(\nu-1)}(\alpha)\) konvergieren, falls \(\alpha\) eine \(\nu\)-fache Wurzel ist und \(\mathfrak P^{(\mu)}(z)\) die \(\mu\)-te Ableitung von \(\mathfrak P(z)\) bedeutet. Den ersten Teil dieses Satzes hat schon \textit{E}. \textit{Weyr} (1887; F. d. M. 19, 367) auf einem komplizierteren Wege bewiesen. Der Beweis der vorliegenden Arbeit erscheint vollkommen durchsichtig und elementar. Kürzer ausgesprochen lautet der Satz: Die Potenzreihe \(\mathfrak P(T)\) konvergiert für \(T=A\) dann und nur dann, wenn für jede (\(\nu\)-fache) charakteristische Wurzel \(\alpha\) von \(A\) die Potenzreihe \(\mathfrak P^{(\nu-1)}(\alpha)\) konvergiert.