Aufgabe 39. (Gestellt in Jahresbericht D. M. V. 35, 49 kursiv). Lösung von Hermann Schmidt. (Q1448854)

Die Aufgabe lautet: Hat \(f(x) = 0\), eine algebraische Gleichung \(n\)-ten Grades, nur reelle und verschiedene Wurzeln, und ist \(d > 0\) die kleinste Differenz zwischen ihren Wurzeln, dann wird die Gleichung \(f^\prime (x) = 0\) wenigstens zwei Nachbarwurzeln haben, deren Differenz größer als \(d \sqrt{\dfrac{n+1}{n}}\) ist. Wie die Lösung zeigt, ist die Formulierung nicht ganz korrekt, insofern als die Differenz aller Nachbarwurzeln von \(f^\prime(x) = 0\) gleich \(d \sqrt{\dfrac{n+1}{n}}\) sein kann; dieser Fall tritt aber nur ein, wenn die Differenz aller Nachbarwurzeln von \(f(x) = 0\) gleich \(d\) und der Grad von \(f (x)\) nicht größer als vier ist.