An approximation to the least root of a cubic equation with application to the determination of units in pure cubic fields. (Q1448856)

Die kleinste Wurzel der kubischen Gleichung \[ x^3 = ax^2 + bx + c \] wird in ähnlicher Weise approximiert wie bei \textit{Bernoulli} die größte Wurzel der Gleichung. Es seien \(A_n\), \(B_n\) und \(C_n\) die Lösungen der Rekursionsformeln \[ x_n = ax_{n-1} + bx_{n-2} + cx_{n-3}, \] wobei folgende Anfangsworte gegeben sind: \[ \begin{matrix} A_{-2} = 0, & A_{-1} = 0, & A_0 = 1, \\ B_{-2} = 0, & B_{-1} = 1, & B_0 = 0, \\ C_{-2} = 1, & C_{-1} = 0, & C_0 = 0. \end{matrix} \] Dann ist die kleinste Wurzel der Gleichung \[ x = -\lim_{n\to\infty} \frac{\begin{vmatrix} \l & \l \\ A_n & C_n \\ A_{n+1} & C_{n+1} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} \l & \l \\ A_n & B_n \\ A_{n+1} & B_{n+1} \end{vmatrix}}, \] wenn \(x\) reell ist. Mit Hilfe der \(A_n\) bestimmt Verf. ferner die Fundamentaleinheit im rein-kubischen Körper. (II 7.)