The possible generalization of Pascal's theorem to three dimensions. (Q1448981)

Verf. sucht den \textit{Pascal}schen Satz auf folgende Weise zu verallgemeinern: Zehn Punkte \((x_i, y_i, z_i, w_i)\) (\(i = 1,\ldots, 10\)) liegen dann und nur dann auf einer Fläche zweiter Ordnung, wenn vier andere Punkte \(A, B, C, D\), die durch eine geeignete lineare Konstruktion aus den zehn Punkten bestimmt sind, in einer Ebene liegen. Algebraisch bedeutet das, einen Ausdruck \(\beta\) zu finden, dessen Verschwinden ausdrückt, daß die vier Punkte \(A, B, C, D\) in einer Ebene liegen (oder eine Beziehung ähnlicher Art), und der verschwindet, wenn die Determinante \[ |x_i^2,y_i^2,z_i^2,w_i^2,x_iy_i, y_iz_i, z_ix_i, x_iw_i, y_iw_i, z_iw_i| \] gleich Null wird. Fordert man von \(\beta\) noch gewisse Symmetrie- und Anordnungsbedingungen, so gelingt es nicht, einen solchen Ausdruck \(\beta\) aufzufinden. Wohl aber gibt Verf. einen anderen Ausdruck \(\beta\) an, der diesen Zusatzforderungen genügt, dessen Verschwinden jedoch bedeutet, daß fünf Gerade, die man durch einfache Konstruktion aus den zehn Punkten erhält, eine Gerade treffen.