Harmonic cubics. (Q1449110)

Unter den Kurven dritter Ordnung \[ x^3 + y^3 + z^3 + 6mxyz = 0 \] sind die harmonischen diejenigen, deren Parameter \(m\) der Gleichung \[ 8m^6+ 20m^3 -1 = 0 \] genügt. Die \textit{Hesse}sche und die \textit{Cayley}sche Kurve einer beliebigen Kurve des Büschels ist eine Kurve dritter Ordnung bzw. dritter Klasse mit dem Parameter \[ -\frac{1+2m^3}{6m^2}\quad\text{bzw.}\quad \frac{1-4m^3}{6m}\,. \] Hieraus folgt u. a., daß die \textit{Cayley}sche Kurve der \textit{Cayley}schen Kurve die ursprüngliche ist. Nach einer Reihe weiterer einfacher Folgerungen wird untersucht, wann eine Kurve dritter Ordnung und eine Kurve dritter Klasse die \textit{Hesse}sche und die \textit{Cayley}sche Kurve einer Kurve sind.