Symbolical algebra and the quadrics containing a rational curve. (Q1449233)

Im \(n\)-dimensionalen Raum mit den Koordinaten \(a_0, a_1,\ldots , a_n\) sei eine rationale Kurve \(n\)-ter Ordnung gegeben durch \[ \dfrac{a_0}{1} = \dfrac{a_1}{\vartheta} = \dfrac{a_2}{\vartheta^2} = \ldots = \dfrac{a_n}{\vartheta^n}. \] Ist \(n\) gerade, so gibt es eine einzige Quadrik \((ab)^n\), die diese Kurve, ihre Tangenten, Schmiegebenen, \(\ldots\), und ihre \(\left(\dfrac{n}{2}-1\right)\)-dimensionalen Schmiegmannigfaltigkeiten enthält. Ist dagegen \(n\) ungerade, so gibt es drei Quadriken \[ (ab)^{n-1}a_1b_1, \;(ab)^{n-1}a_1b_2, \;(ab)^{n-1}a_2b_2, \] die die Kurve und ihre Schmiegmannigfaltigkeiten bis zur Dimension \(\tfrac{1}{2}(n-3)\) enthalten. Hierbei bedeutet \((ab)\), wie gewöhnlich, \(a_1b_2 - a_2b_1\), und die Glieder \(a_1^{n-p}a_2^p\) und \(b_1^{n-p}b_2^p\) werden durch \(a_p\) ersetzt.