Sulle curve algebriche le cui tangenti appartengono al massimo numero di complessi lineari indipendenti. (Q1449235)

\textit{G. Gherardelli} hat bemerkt, daß die Gesamtheit der \textit{Jacobi}schen Gruppen der \(G_n^1\), die einer gegebenen \(g^r_n\) mit \(r > 2\) entnommen sind, dann und nur dann eine lineare Schar bildet, wenn die Tangentenfläche an die Kurve \(C\) im \(S_r\), das projektive Bild der \(g^r_n\), in \(\left(\begin{matrix} r-1\\ 2\end{matrix}\right)\) unabhängigen linearen Komplexen enthalten ist (1927; F. d. M. 53, 642). Verf. vervollständigt hier die Charakterisierung solcher \(g^r_n\), indem er feststellt, was für Kurven des \(S_r\left(\begin{matrix} r-1\\ 2\end{matrix}\right)\) unabhängigen linearen Komplexen (also der Maximalzahl unabhängiger linearer Komplexe) angehören. Er findet, daß dies für \(r\geqq 4\) nur die normalen rationalen Kurven des \(S_r\) sind. Für den Fall des \(S_3\) bestimmt Verf. in endlicher Form die Gesamtheit der Kurven, die einem gegebenen linearen Komplex angehören. In ihren Gleichungen tritt eine willkürliche Funktion \(f(t)\) auf; die zugehörige Kurve ist dann und nur dann algebraisch, wenn \(f(t)\) algebraisch ist. Es ergibt sich, daß das Geschlecht und die Moduln einer algebraischen Kurve des \(S_3\), die einem linearen Komplex angehören soll, beliebig sein können. Verf. schickt ferner noch einige Betrachtungen über die selbstreziproken Kurven im \(S_r\) voraus; das sind solche, für die eine Korrelation des \(S_r\) in sich existiert, die sie in die Gesamtheit der eigenen Schmieghyperebenen überführt; ferner über die selbstreziproken linearen Scharen \(g^r_n\), die im \(S_r\) als projektive Bilder selbstreziproke Kurven haben und die (abgesehen höchstens von einer Gruppe von festen Punkten) mit den Scharen zusammenfallen, die von den Gruppen \(r\)-facher Punkte der \(g^{r-1}_n\) gebildet werden, die der \(g^r_n\) entnommen sind. Schließlich werden die gewonnenen Resultate auf die spezielle eingangs angeschnittene Frage betreffend die \(g^r_n\) (\(r > 2\)), für die die Gesamtheit der \textit{Jacobi}schen Gruppen der ausgesonderten \(g^1_n\) eine lineare Schar bildet, angewendet. Es ergibt sich, daß folgende \(g^r_n\) von dieser Art sind: (1) Die \(g^r_n\), die mittels eines \(g^1_\mu\) (\(\mu\geqq 1\), \(n = r\mu\)) gebildet sind, und zwar aus allen Gesamtheiten von \(r\) Gruppen (\(G\mu\)) der \(g^1_\mu\); (2) die \(g^r_n\) der Dimension \(r = 3\), die selbstreziprok sind oder die sich rational auf andre selbstrezikproke lineare Scharen beziehen lassen.